Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

7.2 Ungleichungen und Satz von Fischer-Riesz 141
stochastisch, und (gn)n∈N ist gleichgradig integrierbar, da gn ≤ 2p (|fn| p + |f| p ).
Also gilt (nach Satz 6.25) �fn − f�p p = �gn�1
n→∞
−→ 0. ✷
Übung 7.1.1. Seien (Xi)i∈N unabhängige, quadratintegrierbare Zufallsvariablen mit
E[Xi] =0für jedes i ∈ N.
(i) Man zeige: Gilt �∞ i=1 Var[Xi] < ∞, so existiert eine reelle Zufallsvariable
X mit �n i=1 Xi
n→∞
−→ X fast sicher.
(ii) Gilt in (i) auch die Umkehrung? ♣
Übung 7.1.2. Sei f : Ω → R messbar. Zeige:
(i) Gilt � |f| p dμ < ∞ für ein p ∈ (0, ∞), so gilt �f�p
p→∞
−→ �f�∞.
(ii) Auf die Integrierbarkeitsbedingung in (i) kann nicht verzichtet werden. ♣
Übung 7.1.3. Sei p ∈ (1, ∞), f ∈L p (λ), wobei λ das Lebesgue-Maß auf R ist,
und T : R → R, x ↦→ x +1. Man zeige:
n−1
1 �
n
k=0
f ◦ T k n→∞
−→ 0 in L p (λ). ♣
7.2 Ungleichungen und Satz von Fischer-Riesz
Wir wollen eine der wichtigsten Ungleichungen der Wahrscheinlichkeitstheorie, die
Jensen’sche Ungleichung für konvexe Funktionen, herleiten. Aus dieser kann man
die Hölder’sche Ungleichung und die Minkowski’sche Ungleichung folgern, die uns
die Dreiecksungleichung für � · �p liefern sowie den Dualraum zu bestimmen helfen.
Allerdings geben wir hier direkte (und einfachere) Beweise für die beiden letztgenannten
Ungleichungen.
Bevor wir zur Jensen’schen Ungleichung kommen, wiederholen wir kurz Grundsätzliches
zur Konvexität von Mengen und Funktionen.
Definition 7.4. Eine Teilmenge G eines Vektorraums (beziehungsweise eines affinlinearen
Raums) heißt konvex, falls für je zwei Punkte x, y ∈ G und jedes λ ∈ [0, 1]
auch λx +(1− λ)y ∈ G ist.
Beispiele 7.5. (i) Die konvexen Teilmengen von R sind die Intervalle.
(ii) Ein linearer Unterraum eines Vektorraums ist konvex.
(iii) Die Menge aller W-Maße auf einem Messraum ist eine konvexe Menge ✸