Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

240 13 Konvergenz von Maßen
13.2 Schwache und vage Konvergenz
Nachdem wir in Satz 13.11 gesehen haben, dass Integrale stetiger, beschränkter
Funktionen, beziehungsweise für lokalkompaktes E sogar stetiger Funktionen mit
kompaktem Träger, ein Radon-Maß vollständig bestimmen, liegt es nahe, Cb(E)
und Cc(E) auch als Klassen von Testfunktionen für Konvergenzbegriffe für Maße
heranzuziehen.
Definition 13.12 (Schwache und vage Konvergenz). Sei E ein metrischer Raum.
(i) Seien μ, μ1,μ2,... ∈Mf (E). Wir sagen, dass (μn)n∈N schwach (weakly)
gegen μ konvergiere, in Formeln μn
n→∞
−→ μ schwach oder μ =w-lim
n→∞ μn,
falls �
�
fdμn
n→∞
−→ fdμ für jedes f ∈ Cb(E).
(ii) Es seien μ, μ1,μ2,...∈M(E). Wir sagen, dass (μn)n∈N vag (vaguely) gegen
μ konvergiert, in Formeln μn
n→∞
−→ μ vag oder μ =v-lim
n→∞ μn, falls
�
�
fdμn
n→∞
−→ fdμ für jedes f ∈ Cc(E).
Bemerkung 13.13. Ist E polnisch, so ist nach Satz 13.6 und 13.11 der schwache
Limes eindeutig. Das Gleiche gilt für den vagen Limes, falls E lokalkompakt ist.✸
Bemerkung 13.14. (i) In der Funktionalanalysis wird die hier eingeführte schwache
Konvergenz die Schwach ∗ -Konvergenz genannt.
(ii) Die schwache Konvergenz erzeugt auf Mf (E) die schwache Topologie τw
(oder Schwach ∗ -Topologie in der Funktionalanalysis). Dies ist die gröbste Topologie,
sodass für jedes f ∈ Cb(E) die Abbildung Mf (E) → R, μ ↦→ � fdμstetig
ist. Ist E separabel, so kann man zeigen, dass (Mf (E),τw) metrisierbar ist, zum
Beispiel mit der so genannten Prohorov-Metrik
wobei
dP (μ, ν) :=max{d ′ P (μ, ν),d ′ P (ν, μ)}, (13.3)
d ′ P (μ, ν) :=inf{ε >0: μ(B) ≤ ν(B ε )+ε für jedes B ∈B(E)}, (13.4)
und wo B ε = {x : d(x, B)