Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

194 9 Martingale
vorhersagbar und lokal beschränkt. Sei Sn = �n i=1 HiDi =(H·X)n der Zugewinn
nach n Runden. Dann ist S nach dem vorangehenden Satz ein Martingal. Speziell
erhalten wir das bereits in Beispiel 4.22 gezeigte Ergebnis, dass E[Sn] =0ist für
jedes n ∈ N. Dass dies, wie dort gezeigt, in zumindest vordergründigem Kontrast zu
n→∞
der Aussage Sn −→ 1 f.s. steht, wird uns später noch einmal beschäftigen (siehe
Beispiel 11.6).
Für den Moment sei angemerkt, dass das Martingal S ′ = (1 − Sn)n∈N0 wie in
Beispiel 9.31 die Struktur eines Produkts unabhängiger Zufallsvariablen mit Erwartungswert
1 hat. Es gilt nämlich S ′ n = �n i=1 (1 − Di). ✸
9.4 Diskreter Martingaldarstellungssatz und CRR Modell
Wir haben nun gesehen, dass wir vermittels des stochastischen Integrals aus einem
Martingal X durch eine Spielstrategie H ein neues Martingal H ·X herstellen
können. Welche Martingale Y (mit Y0 =0) sind nun durch eine geeignete Spielstrategie
H = H(Y ) aus X zu gewinnen? Womöglich alle? Dies ist sicher nicht
der Fall, wie das folgende Beispiel zeigt. Allerdings sind alle Martingale darstellbar,
wenn für die Zuwächse Xn+1 − Xn immer nur zwei Werte in Frage kommen
(gegeben X1,...,Xn). Wir geben für diesen Fall einen Darstellungssatz an und
diskutieren in der Folge den fairen Preis der europäischen Kaufoption (europäischer
Call) in dem Aktienkursmodell von Cox-Ross-Rubinstein. Wir wollen dabei einen
naiven Standpunkt einnehmen und einen in vielerlei Hinsicht idealisierten Markt
voraussetzen (keine Handelskosten, gebrochene Anzahlen handelbar, und so fort).
Für eine umfassendere Lektüre zum Thema Finanzmathematik eignen sich etwa die
Lehrbücher [41], [79], [98], [56], [12] oder [47].
Beispiel 9.41. Wir betrachten ein ganz einfaches Martingal X =(Xn)n=0,1 mit nur
zwei Zeitpunkten. Es sei X0 =0fast sicher und P[X1 = −1] = P[X1 =0]=
P[X1 =1]= 1
3 .SeiY0 =0sowie Y1 =2, falls X1 =1und Y1 = −1 sonst. Dann
ist Y offenbar ein σ(X)-Martingal. Allerdings können wir keine Zahl H1 angeben,
sodass H1X1 = Y1 wäre. ✸
Sei T ∈ N ein fester Zeitpunkt. Ist (Yn)n=0,1,...,T �
ein F-Martingal, dann ist
Yn = E[YT
�Fn] für jedes n ≤ T . Durch die Angabe von YT ist ein F-Martingal Y
also eindeutig festgelegt (und umgekehrt). Da (H ·X) ein Martingal ist, falls X ein
Martingal ist, reduziert sich das Darstellungsproblem für Martingale auf das Problem,
eine integrierbare Zufallsvariable V := YT darzustellen als v0 +(H ·X)T ,
wobei v0 = E[YT ] ist, falls X ein Martingal ist.
Wir haben eben schon gesehen, dass dies im Allgemeinen nicht möglich ist, wenn
die Differenzen Xn+1 − Xn drei (oder mehr) unterschiedliche Werte annehmen
können. Wir betrachten nun also den Fall, wo nur zwei Werte möglich sind. Hier
muss in jedem Schritt ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und