Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

(iv) Sei θ>0 und X exponentialverteilt X ∼ exp θ.Dannist
E[X] =θ
� ∞
Var[X] =−θ −2 + θ
0
xe −θx dx = 1
θ ,
� ∞
x
0
2 e −θx dx = θ −2
�
−1+
� ∞
0
5.1 Momente 103
x 2 e −x �
dx = θ −2 . ✸
Satz 5.10 (Blackwell-Girshick). Seien T,X1,X2,...unabhängige, reelle Zufallsvariablen
in L2 (P). EsseiP[T ∈ N0] =1, und es seien X1,X2,... identisch
verteilt. Wir setzen
T�
ST := Xi.
Dann ist ST ∈L 2 (P) und
i=1
Var[ST ]=E[X1] 2 Var[T ]+E[T ] Var[X1].
Beweis. Wir setzen Sn = � n
i=1 Xi für n ∈ N. Dann sind (wie beim Beweis der
Wald’schen Identität) Sn und {T =n} unabhängig, also S 2 n und {T =n} unkorreliert
und damit
E � S 2 �
T =
=
=
=
∞�
n=0
∞�
n=0
E � {T =n} S 2� n
E[ {T =n}] E � S 2� n
∞�
P[T = n] � Var[Sn]+E[Sn] 2�
n=0
∞�
n=0
�
P[T = n] n Var[X1]+n 2 E[X1] 2�
= E[T ] Var[X1]+E � T 2� E[X1] 2 .
Nach der Wald’schen Identität (Satz 5.5) ist E[ST ]=E[T ] E[X1], also ist
Var[ST ]=E � S 2 �
T − E[ST ] 2 = E[T ] Var[X1]+ � E � T 2� − E[T ] 2� E[X1] 2 .
Dies ist aber die Behauptung. ✷
Übung 5.1.1. Man zeige (mit Satz 4.15): Ist X eine integrierbare reelle Zufallsvariable,
deren Verteilung PX die Dichte f (bezüglich des Lebesgue-Maßes λ) besitzt,
so gilt
�
E[X] = xf(x) λ(dx). ♣
R