Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebung 413
Satz 19.34. (i) Gilt R − w < ∞ oder R + w < ∞, so gilt (mit ∞
∞ =1)
�
P0 Xn
n→∞
−→ −∞ � =
R + w
R − w + R + w
�
und P0 Xn
(ii) Gilt R − w = ∞ und R + w = ∞, so gilt lim inf
fast sicher.
n→∞
−→ +∞ � =
R − w
R − w + R + w
n→∞ Xn = −∞ und lim sup Xn = ∞
n→∞
Beweis. (i) Ohne Einschränkung sei R − w < ∞. Der andere Fall folgt aus Symmetriegründen.
Sei τN := inf � n ∈ N0 : Xn ∈{−N,N} � .DaX transient ist, ist
P0[τN < ∞] =1und (wie in (19.7))
�
P0 XτN = −N� = Rw,eff(0 ↔ N)
Rw,eff(−N ↔ N) =
Es folgt, wiederum, weil X transient ist,
�
P0 Xn
Rw,eff(0 ↔ N)
Rw,eff(0 ↔−N)+Rw,eff(0 ↔ N) .
n→∞
−→ −∞ � = P � sup{Xn : n ∈ N0} < ∞ �
= lim
N→∞ P� sup{Xn : n ∈ N0}