Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

192 9 Martingale
Übung 9.2.4 (Ungleichung von Azuma). Man zeige:
(i) Ist X eine Zufallsvariable mit |X| ≤1 f.s., so gibt es eine Zufallsvariable Y
mit Werten in {−1, +1} und mit E[Y |X] =X.
(ii) Für X wie in (i) mit E[X] =0folgere man (mit Hilfe der Jensen’schen Ungleichung)
E � e λX� ≤ cosh(λ) ≤ e λ2 /2
für alle λ ∈ R.
(iii) Ist (Mn)n∈N0 ein Martingal mit M0 = 0, und gibt es eine Folge (ck)k∈N
nichtnegativer Zahlen mit |Mn − Mn−1| ≤cn f.s. für jedes n ∈ N, sogilt
E � e λMn� �
1
≤ exp
2 λ2
n�
c 2 �
k .
(iv) Unter den Bedingungen von (iii) gilt die Azuma’sche Ungleichung
P � |Mn| ≥λ � �
≤ 2exp−
λ2 �
für alle λ ≥ 0.
k=1
2 � n
k=1 c2 k
Hinweis: Verwende die Markov’sche Ungleichung für f(x) =e γx und wähle
γ optimal. ♣
9.3 Diskretes stochastisches Integral
Bisher haben wir das Martingal als Partialsummenprozess eines fairen Spiels kennen
gelernt. Dies kann beispielsweise auch der Kurs einer Aktie sein, die zu diskreten
Zeitpunkten an einer Börse gehandelt wird. Bei dieser Interpretation ist es
besonders evident, dass es natürlich ist, neue stochastische Prozesse zu generieren,
indem man Anlagestrategien für die entsprechende Aktie betrachtet. Die Wertentwicklung
des neuen Prozesses ist dann die mit der jeweilig im Portefeuille befindlichen
Anzahl von Aktien zu multiplizierende Wertentwicklung des Aktienkurses.
Dies führt zu der folgenden Begriffsbildung.
Definition 9.37 (Diskretes Stochastisches Integral). Sei (Xn)n∈N0 ein reeller, Fadaptierter
Prozess und (Hn)n∈N reellwertig und F-vorhersagbar. Wir definieren
den stochastischen Prozess H ·X durch
(H ·X)n :=
n�
Hm(Xm − Xm−1) für n ∈ N0, (9.2)
m=1
und nennen H·X das diskrete stochastische Integral von H bezüglich X.IstX ein
Martingal, so nennen wir H ·X auch die Martingaltransformierte von X.