Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

m,p ∗ bn,p = bm+n,p.
3.1 Definition und Beispiele 77
(iii) Seien X und Y unabhängig und Poisson-verteilt mit Parametern λ ≥ 0 und
μ ≥ 0, also P[X = n] =e −λ λ n /n! für n ∈ N0. Dannist
ψPoiλ (z) =
∞�
n=0
Also hat X + Y die Erzeugendenfunktion
−λ (λz)n
e
n! = eλ(z−1) . (3.4)
ψPoiλ (z) · ψPoiμ (z) =eλ(z−1) e μ(z−1) = ψPoiλ+μ (z),
und daher ist X + Y ∼ Poiλ+μ. Es folgt
Poiλ ∗ Poiμ =Poiλ+μ. (3.5)
(iv) Seien X1,...,Xn ∼ γp unabhängig und geometrisch verteilt mit Parameter
p ∈ (0, 1). Wir setzen Y = X1 + ...+ Xn.Esistfür z ∈ [0, 1]
ψX1 (z) =
∞�
k=0
p(1 − p) k z k =
p
. (3.6)
1 − (1 − p)z
Nach der verallgemeinerten binomischen Formel (siehe Lemma 3.5 mit α = −n),
Satz 3.3 und (3.6) ist
ψY (z) =ψX1 (z)n p
=
n
(1 − (1 − p)z) n
∞�
= p n
� �
−n
(−1)
k
k (1 − p) k z k
=
k=0
∞�
b − n,p({k}) z k ,
k=0
wobei für beliebiges r ∈ (0, ∞) und p ∈ (0, 1]
b − r,p =
∞�
k=0
� �
−r
(−1)
k
k p r (1 − p) k δk
(3.7)
die negative Binomialverteilung mit Parametern r und p ist. Nach dem Eindeutigkeitssatz
für Erzeugendenfunktionen ist damit Y ∼ b− n,p, also (siehe Definition 2.29
für die n-te Faltungspotenz) b− n,p = γ∗n p . ✸
Lemma 3.5 (Verallgemeinerter binomischer Lehrsatz). Für α ∈ R und k ∈ N0
definieren wir den Binomialkoeffizienten