Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

128 6 Konvergenzsätze
L 1
Bemerkung 6.10. Gilt fn −→ f und fn −→ g, soistf = g fast überall. In der Tat
n→∞
ist nach der Dreiecksungleichung �f − g�1 ≤�fn− f�1 + �fn − g�1 −→ 0. ✸
Bemerkung 6.11. L 1 -Konvergenz und F.ü.-Konvergenz implizieren jeweils stochastische
Konvergenz. Alle anderen Implikationen sind im Allgemeinen falsch. ✸
Satz 6.12 (Schnelle Konvergenz). Sei (E,d) ein separabler, metrischer Raum.
Damit die Folge (fn)n∈N messbarer Abbildungen Ω → E fast überall konvergiert,
ist hinreichend, dass eine der folgenden Bedingungen gilt.
L 1
(i) Es gilt E = R, es gibt ein p ∈ [1, ∞) mit fn ∈Lp (μ) für jedes n ∈ N, und
es gibt ein f ∈Lp ∞�
(μ) mit �fn − f�p < ∞.
(ii) Es gibt ein messbares f mit
n=1
∞�
μ(A ∩{d(f,fn) >ε}) < ∞ für jedes ε>0
n=1
und für jedes A ∈Amit μ(A) < ∞.
In beiden Fällen gilt fn
n→∞
−→ f fast überall.
(iii) E ist vollständig, und es gibt eine summierbare Folge (εn)n∈N, sodass
∞�
μ(A ∩{d(fn,fn+1) >εn}) < ∞ für jedes A ∈A mit μ(A) < ∞.
n=1
Beweis. Offenbar impliziert (i) schon (ii), denn nach der Markov’schen Ungleichung
ist μ({|f − fn| >ε}) ≤ ε−p�f − fn�p p.
Nach Bemerkung 6.3 reicht es, den Fall μ(Ω) < ∞ zu betrachten.
Gelte nun (ii). Sei Bn(ε) = {d(f,fn) > ε} und B(ε) = lim sup Bn(ε). Das
n→∞
Lemma von Borel-Cantelli liefert μ(B(ε)) = 0.SeiN = �∞ n=1 B (1/n). Dann gilt
μ(N) =0und fn(ω) n→∞
−→ f(ω) für jedes ω ∈ Ω \ N.
Gelte (iii). Sei Bn = {d(fn+1,fn) >εn} und B = lim sup Bn. Dannistμ(B) =
n→∞
0, und für jedes ω ∈ Ω\B ist (fn(ω))n∈N eine Cauchy-Folge in E.DaE vollständig
ist, existiert der Limes f(ω) := limn→∞ fn(ω). Für ω ∈ B setze f(ω) =0. ✷
Korollar 6.13. Sei (E,d) vollständig und separabel. Seien f,f1,f2,... messbare
Abbildungen Ω → E. Dann sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent.
(i) fn
n→∞
−→ f stochastisch,
(ii) Zu jeder Teilfolge von (fn)n∈N existiert eine gegen f fast überall konvergente
Teilfolge.