Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

21.1 Stetige Modifikationen 433
s→t
Xs −→ Xt stochastisch. (21.5)
Die Idee ist, zunächst � X auf den binär rationalen Zahlen zu konstruieren und dann
stetig auf [0, 1] fortzusetzen. Dafür wird (21.5) gebraucht. Speziell ist für γ > 0
sowie n ∈ N und k ∈{1,...,2n }
P �� �
�Xk2−n − X (k−1)2−n� −γn
≥ 2 � ≤ C 2 −n(1+β−αγ) .
Wir setzen
An = An(γ) := � max � |X k2 −n − X (k−1)2 −n|, k∈{1,...,2 n } � ≥ 2 −γn� ,
sowie
∞�
Bn := Am,
m=n
und N := lim sup An =
n→∞
Es folgt dann für jedes n ∈ N
∞�
Bn.
n=1
�
P[An] ≤ P � |Xk2−n − X (k−1)2−n| ≥2 −γn� ≤ C 2 −n(β−αγ) .
2 n
k=1
Wir wählen jetzt ein γ ∈ (0,β/α) und erhalten
P[Bn] ≤
∞�
m=n
P[Am] ≤ C 2−(β−αγ)n
1 − 2 αγ−β
n→∞
−→ 0, (21.6)
also P[N] =0. Sei nun ω ∈ Ω \ N fest und n0 = n0(ω) so, dass ω �∈ ∞�
Also gilt
�
� Xk2 −n(ω) − X (k−1)2 −n(ω) � � < 2 −γn
n=n0
An.
für k ∈{1,...,2 n },n≥ n0. (21.7)
Wir definieren die Mengen endlicher dyadischer Zahlen Dm = {k2 −m ,k =
0,...,2 m } und D = �
Dm. Jedes t ∈ Dm besitzt eine eindeutige Binärdar-
stellung
t =
m∈N
m�
bi(t)2 −i
i=1
für gewisse bi(t) ∈{0, 1}, i=1,...,m.
Seien m ≥ n ≥ n0 sowie s, t ∈ Dm,s≤ t mit |s−t| ≤2−n .Dannistbi(t−s) =0
für i