Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Für n ∈ N und σ ∈{−, +} n setzen wir
22.2 Skorohod’scher Einbettungssatz 483
(σ, +) := (σ1,...,σn, +) ∈{−, +} n+1 .
Für σ ∈{−, +} 0 := {∅} setzen wir (∅, +) = (+). Analog verfahren wir für (σ, −).
Wir definieren sukzessive Mengen A σ und Punkte μ σ für σ ∈{−, +} n , n ∈ N0
durch
A ∅ := R, μ ∅ := E[X],
A (σ,−) := A σ ∩ (−∞,μ σ ), A (σ,+) := A σ ∩ [μ σ , ∞),
μ (σ,+) := E � X � � (σ,+)
X ∈ A � ,
� � �
E X �X ∈ A (σ,−)� , falls P � X ∈ A (σ,−)� > 0,
μ (σ,−) :=
μ σ , sonst.
Man beachte, dass die Abbildung σ ↦→ μσ monoton ist in der lexikographischen
Ordnung ((σ, −) ≤ σ ≤ (σ, +) für jedes σ).
Setze
Gn := σ � {X ∈ A σ },σ∈{−, +} m ,m≤ n �
für n ∈ N0,
und G∞ := σ( �
n∈N Gn). Dannist
Xn := E[X � � Gn] für n ∈ N0,
ein Martingal bezüglich der Filtration (Gn)n∈N0 . Nach der Jensen’schen Ungleichung
ist E[X2 n] ≤ E[X2 ] < ∞ für jedes n ∈ N0. Nach dem L2-Martingalkonver genzsatz (Satz 11.10) gilt daher
Xn
n→∞
−→ X∞ := E[X � �G∞] f.s. und in L 2 . (22.9)
Für x ∈ R und n ∈ N sei σ(n, x) =(σ1(n, x),...,σn(n, x)) ∈{−, +} n (eindeutig)sogewählt,
dass x ∈ A σ(n,x) . Offenbar ist dann σm(n, x) =σm(n ′ ,x)
für alle n, n ′ ≥ m, also existiert ein (eindeutiges) σ(x) ∈{−, +} N mit σ(n, x) =
(σ1(x),...,σn(x)) (der projektive Limes der σ(n, x), n ∈ N). Es ist dann
Ferner ist
μ σ(x)
n
x ∈ A σ(x)
n
:= μ (σ1(x),...,σn(x)) ⎧
⎨
=
⎩
:= A (σ1(x),...,σn(x)) .
Setze fn(x) :=μ σ(x)
n , f∞ = lim inf
n→∞ fn(x). Dannist
sup A σ(x)
n+1 , falls σn+1 = −
inf A σ(x)
n+1 , falls σn+1 =+.
fn(X) =E[X � � Gn] fast sicher für jedes n ∈ N ∪{∞}.
(22.10)