Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

98 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
(iv) Sind X, Y ∈L 2 (P), sodefinieren wir die Kovarianz von X und Y durch
Cov[X, Y ]:=E �� X − E[X] �� Y − E[Y ] �� .
X und Y heißen unkorreliert, falls Cov[X, Y ]=0ist.
Bemerkung 5.2. (i) Die Definition in (ii) ist sinnvoll, denn für X ∈L n (P) ist
nach Satz 4.19 Mk < ∞ für jedes k =1,...,n.
(ii) Sind X, Y ∈L 2 (P), soistwegen|XY |≤X 2 + Y 2 auch XY ∈L 1 (P).
Deshalb ist die Definition in (iv) sinnvoll, und es gilt
Cov[X, Y ]=E[XY ] − E[X] E[Y ].
Speziell ist Var[X] =Cov[X, X]. ✸
Wir fassen die wichtigsten Rechenregeln für Erwartungswerte als Satz zusammen.
Alle aufgeführten Eigenschaften folgen direkt aus den Eigenschaften des Integrals.
Satz 5.3 (Rechenregeln für den Erwartungswert). Seien X, Y, Xn,Yn, n ∈ N,
reelle integrierbare Zufallsvariablen auf (Ω,A, P). Dann gilt
(i) Ist PX = PY ,soistE[X] =E[Y ].
(ii) (Linearität) Sei c ∈ R. Dann gelten cX ∈L 1 (P) und X + Y ∈L 1 (P) sowie
E[cX] =cE[X] und E[X + Y ]=E[X]+E[Y ].
(iii) Ist X ≥ 0 fast sicher, so gilt
E[X] =0 ⇐⇒ X =0 fast sicher.
(iv) (Monotonie) Gilt X ≤ Y fast sicher, so gilt E[X] ≤ E[Y ] mit Gleichheit
genau dann, wenn X = Y fast sicher.
(v) (Dreiecksungleichung) Es ist � � � �
�E[X] � ≤ E |X| .
�
� ∞�
(vi) Ist Xn ≥ 0 fast sicher für jedes n ∈ N, soistE (vii) Gilt Yn ↑ Y , so gilt E[Y ] = limn→∞ E[Yn].
Xn
n=1
= ∞�
E[Xn].
Die Wahrscheinlichkeitstheorie beginnt wieder an der Stelle, wo die Unabhängigkeit
ins Spiel kommt, wir also den Bereich der linearen Integrationstheorie verlassen.
Satz 5.4 (Unabhängige Zufallsvariablen sind unkorreliert).
Seien X, Y ∈ L 1 (P) unabhängig. Dann ist (XY) ∈ L 1 (P) und E[XY ] =
E[X] E[Y ]. Speziell sind unabhängige Zufallsvariablen unkorreliert.
n=1