Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

338 17 Markovketten
Die (schwache) Markoveigenschaft eines Prozesses besagt, dass zu fester Zeit t die
Zukunft (nach t) von der Vergangenheit (bis t) nur durch die Gegenwart (also den
Wert zur Zeit t) abhängt. Wir können diesen Begriff verallgemeinern, indem wir
statt fester Zeiten auch Stoppzeiten zulassen.
Definition 17.12. Sei I ⊂ [0, ∞) abgeschlossen unter Addition. Ein Markovprozess
(Xt)t∈I mit Verteilungen (Px, x∈ E) hat die starke Markoveigenschaft,
falls für jede f.s. endliche Stoppzeit τ und jede B(E) ⊗I −B(R) messbare, beschränkte
Funktion f : EI → R, sowie jedes x ∈ E gilt:
�
Ex f ((Xτ+t)t∈I) � �
�Fτ = EXτ [f(X)] :=
�
E I
κ(Xτ ,dy) f(y). (17.6)
Bemerkung 17.13. Ist I höchstens abzählbar, so ist die starke Markoveigenschaft
äquivalent dazu, dass für jede fast sicher endliche Stoppzeit τ gilt
� � � � �
Lx (Xτ+t) �Fτ = LXτ (Xt) := κ(Xτ , · ). (17.7)
t∈N0
t∈N0
Dies folgt genau wie in Korollar 17.10. ✸
Die meisten relevanten Markovprozesse besitzen auch die starke Markoveigenschaft.
Statt hier den Begriff der Relevanz zu diskutieren, was sich wohl kaum
erschöpfend machen ließe, wollen wir lieber zeigen, dass für abzählbare Zeitmenge
die starke Markoveigenschaft aus der schwachen folgt. In zeitstetigen Situationen
hingegen muss man im Allgemeinen mehr arbeiten, um die starke Markoveigenschaft
zu etablieren.
Satz 17.14. Ist I ⊂ [0, ∞) höchstens abzählbar und abgeschlossen unter Addition,
so hat jeder Markovprozess (Xn)n∈I mit Verteilungen (Px)x∈E die starke
Markoveigenschaft.
Beweis. Sei f : EI → R� messbar � und� beschränkt. � Dann ist für jedes s ∈ I die Zufallsvariable
{τ=s} Ex f (Xs+t)
t∈I |Fτ messbar bezüglich Fs. Mit der Turmeigenschaft
der bedingten Erwartung und Satz 17.9 in der dritten Gleichheit erhalten
wir daher
� � � � � � � � � � �
Ex f (Xτ+t) �Fτ
t∈I = {τ=s} Ex f (Xs+t) �Fτ
t∈I
s∈I
= �
s∈I
= �
s∈I
= EXτ
Ex
Ex
�
�
� � �� �
{τ=s} Ex f (Xs+t)t∈I
�Fs
� �
�
�Fτ
{τ=s} EXs
� � ��
f (Xt)t∈I
� �
�
�Fτ
� � ��
f (Xt)t∈I . ✷