Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

2.4 Beispiel: Perkolation 71
Es wird vermutet, dass θ(pc) =0in jeder Dimension d ≥ 2 gilt. Rigoros bewiesen
ist dies allerdings nur für d =2und d ≥ 19 (siehe [66]).
Eindeutigkeit des unendlichen Clusters ∗
Es sei p so gewählt, dass θ(p) > 0 ist. Wir haben gesehen, dass es mit Wahrscheinlichkeit
1 mindestens einen unendlich großen, offenen Cluster gibt. Wir wollen nun
zeigen, dass es genau einen gibt.
Sei also N ∈{0, 1,...,∞} die (zufällige) Anzahl von unendlich großen Clustern.
Satz 2.47 (Eindeutigkeit des unendlichen großen Clusters). Für jedes p ∈ [0, 1]
gilt Pp[N ≤ 1] = 1.
Beweis. Diese Aussage wurde erstmals von Aizenman, Kesten und Newman gezeigt
[1, 2]. Wir folgen der einfacheren Beweisidee von Burton und Keane [25], wie
sie etwa in [62, Abschnitt 8.2] beschrieben wird.
In den Fällen p =1und θ(p) =0(speziell also im Fall p =0) ist die Aussage
trivial. Seien nun also p ∈ (0, 1) und θ(p) > 0.
1. Schritt Wir zeigen zunächst:
Pp[N = m] =1 für ein m =0, 1,...,∞. (2.13)
Wir benötigen ein 0-1 Gesetz, ähnlich dem Kolmogorov’schen. Allerdings ist N
nicht messbar bezüglich der terminalen σ-Algebra, wir müssen also etwas subtiler
vorgehen. Sei e1 =(1, 0,...,0) der erste Einheitsvektor in Zd . Auf der Kantenmenge
K definieren wir die Translation τ : K → K durch τ(〈x, y〉) =〈x + e1,y+ e1〉.
Sei
K0 := � 〈(x1,...,xd), (y1,...,yd)〉 ∈K : x1 =0,y1≥ 0 �
die Menge aller Kanten in Zd , die zwei Punkte in {0}×Zd−1 verbinden oder einen
Punkt aus {0}×Zd−1 mit einem aus {1}×Zd−1 verbinden. Offenbar sind die Men-
gen (τ n (K0), n∈ Z) disjunkt und K = �
n∈Z τ n (K0). Daher sind die Zufallsva-
riablen Yn := (X p
τ n )k∈K0 (k) , n ∈ Z, unabhängig und identisch verteilt (mit Werten
in {0, 1} K0 ). Setze Y =(Yn)n∈Zund τ(Y )=(Yn+1)n∈Z. SeiAm∈{0, 1} K
definiert durch
{Y ∈ Am} = {N = m}.
Offenbar ändert sich der Wert von N nicht, wenn wir alle Kanten gleichzeitig verschieben.
Es gilt also {Y ∈ Am} = {τ(Y ) ∈ Am}. Ein Ereignis mit dieser
Eigenschaft nennen wir invariant. Mit einem Argument ähnlich dem für das Kolmogorov’sche
0-1 Gesetz kann man zeigen, dass invariante Ereignisse (die durch
u.i.v. Zufallsvariablen definiert werden) nur die Wahrscheinlichkeiten 0 oder 1 haben
können (für einen formalen Beweis siehe Beispiel 20.26).