Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

510 24 Der Poisson’sche Punktprozess
Satz 24.2. Sei τv die vage Topologie auf M(E). Dann ist
M = B(τv) =σ(If : f ∈ Cc(E)) = σ(If : f ∈ C + c (E)).
Beweis. Übung! (Siehe [83, Lemma 4.1].) ✷
Sei � M(E) der Raum aller Maße auf E mit σ-Algebra � M = σ(IA : A ∈Bb(E)).
Offenbar ist M = � M � � die Spur-σ-Algebra von
M(E)
� M auf M(E). Wir brauchen
diesen etwas größeren Raum, um zufällige Maße so zu definieren, dass fast sicher
wohldefinierte Operationen wieder zufällige Maße ergeben.
Definition 24.3. Ein zufälliges Maß auf E ist eine Zufallsvariable X auf einem
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, P) mit Werten in ( � M(E), � M) und mit P[X ∈
M(E)]=1.
Satz 24.4. Sei X ein zufälliges Maß auf E. Dann ist die Mengenfunktion E[X] :
B(E) → [0, ∞], A ↦→ E[X(A)] ein Maß. Wir nennen E[X] das Intensitätsmaß
von X. X heißt integrierbar, falls E[X] ∈M(E).
Beweis. Offenbar ist E[X] endlich additiv. Seien A, A1,A2,... ∈B(E) mit An ↑
A. Betrachte die Zufallsvariablen Yn := X(An) und Y = X(A). Dann gilt Yn ↑ Y ,
also nach dem Satz über monotone Konvergenz E[X](An) =E[Yn] n→∞
−→ E[Y ]=
E[X](A). Mithin ist E[X] stetig von unten und damit ein Maß (nach Satz 1.36). ✷
Satz 24.5. Die Verteilung PX eines zufälligen Maßes X ist eindeutig bestimmt sowohl
durch die Verteilungen von
� (If1 ,...,Ifn ): n ∈ N; f1,...,fn ∈ C + c (E) �
(24.1)
als auch von
� (IA1 ,...,IAn ): n ∈ N; A1,...,An ∈Bb(E) paarweise disjunkt � . (24.2)
Beweis. Das Mengensystem
I = � (If1 ,...,Ifn )−1 (A) : n ∈ N; f1,...,fn ∈ C + c (E), A∈B([0, ∞) n ) �
ist schnittstabil und nach Satz 24.2 ein Erzeuger von M. AlsoistdasMaßPX
eindeutig durch die Werte auf I festgelegt.
Die Aussage folgt analog für
�
(IA1 ,...,IAn ): n ∈ N; A1,...,An ∈Bb(E) � .
Sind A1,...,An ∈Bb(E) beliebig, so existieren 2n − 1 paarweise disjunkte Mengen
B1,...,B2n−1 mit Ai = �
k: Bk⊂Ai Bk für jedes i =1,...,n. Die Verteilung
von (IA1 ,...,IAn ) lässt sich aus der von (IB1 ,...,IB2n ) berechnen. ✷
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