Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

1.5 Zufallsvariablen 43
Satz 1.104. Zu jeder Verteilungsfunktion F existiert eine reelle Zufallsvariable X
mit FX = F .
Beweis. Wir müssen explizit einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, P) und eine
Zufallsvariable X : Ω → R angeben mit FX = F .
Die einfachste Möglichkeit ist, (Ω,A) =(R, B(R)) zu wählen, X : R → R die
identische Abbildung und P das Lebesgue-Stieltjes Maß mit Verteilungsfunktion F
(siehe Beispiel 1.56).
Eine andere Möglichkeit, die zudem etwas lehrreicher ist, beruht darauf, zunächst
unabhängig vom konkreten F eine Art Standard-Wahrscheinlichkeitsraum zu definieren,
auf dem eine uniform auf (0, 1) verteilte Zufallsvariable definiert ist, die
dann vermöge der Umkehrabbildung F −1 zu einer Zufallsvariablen X mit Verteilungsfunktion
F transformiert wird: Wir wählen Ω := (0, 1), A := B(R) � � und
Ω
P das Lebesgue-Maß auf (Ω,A) (siehe Beispiel 1.74). Definiere die (linkssstetige)
Inverse von F
Dann ist
F −1 (t) :=inf{x ∈ R : F (x) ≥ t} für t ∈ (0, 1).
F −1 (t) ≤ x ⇐⇒ t ≤ F (x).
Speziell ist {t : F −1 (t) ≤ x} =(0,F(x)] ∩ (0, 1), also ist F −1 :(Ω,A) →
(R, B(R)) messbar und
P[{t : F −1 (t) ≤ x}] =F (x).
Mithin ist X := F −1 die gewünschte Zufallsvariable. ✷
Beispiel 1.105. Wir geben zu verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf R
reelle Zufallsvariablen X mit ebendieser Verteilung an. (Der konkrete Ort in diesem
Buch dient lediglich als Vorwand, um ein paar der wichtigsten Verteilungen
einzuführen, auf die wir bei späteren Gelegenheiten immer wieder zurückkommen.)
(i) Ist p ∈ [0, 1] und P[X =1]=p, P[X =0]=1−p,soheißtPX =: Berp die
Bernoulli-Verteilung mit Parameter p. Formal ist
Berp =(1− p) δ0 + pδ1,
und die Verteilungsfunktion ist
⎧
⎨ 0, falls x