Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

252 13 Konvergenz von Maßen
” (ii) =⇒ (i)“ Sei (μn)n∈N straff und C⊂Cb(E) trennend mit (13.8). Wir nehmen
an, (μn)n∈N konvergiere nicht schwach gegen μ. Dann existieren ε>0, f ∈ Cb(E)
und (nk)k∈N mit nk ↑∞und
��
�
� fdμnk � −
� �
�
fdμ�
� >ε für alle k ∈ N. (13.9)
Nach dem Satz von Prohorov (Satz 13.29) existiert ein ν ∈ M≤1(E) und eine
Teilfolge (n ′ k )k∈N von (nk)k∈N mit μn ′ → ν schwach. Wegen (13.9) ist
�
k
� � fdμ− � fdν � � ≥ ε, also μ �= ν. Andererseits ist
�
�
hdμ= lim
k→∞
hdμn ′ k =
�
hdν für jedes h ∈C,
also μ = ν. Damit ist die Annahme zum Widerspruch geführt, und es gilt (i). ✷
Wir wollen den Zusammenhang zwischen schwacher und vager Konvergenz näher
beleuchten.
Satz 13.35. Sei E ein lokalkompakter, polnischer Raum, und seien μ, μ1,μ2,...
∈Mf (E). Dann sind äquivalent:
(i) μ =w-lim
n→∞ μn,
(ii) μ =v-lim
n→∞ μn und μ(E) = lim
n→∞ μn(E),
(iii) μ =v-lim
n→∞ μn und μ(E) ≥ lim sup μn(E),
n→∞
(iv) μ =v-lim
n→∞ μn und {μn, n∈ N} ist straff.
Beweis. ” (i) ⇐⇒ (ii) ⇐⇒ (iii)“ Dies folgt aus dem Portemanteau Theorem.
” (ii) =⇒ (iv)“ Es reicht zu zeigen, dass für jedes ε>0 ein Kompaktum K ⊂ E
existiert mit lim supn→∞ μn(E \ K) ≤ ε.Daμregulär ist (Satz 13.6) existiert eine
kompakte Menge L ⊂ E mit μ(E \ L)