Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

562 26 Stochastische Differentialgleichungen
Weil F ′′
n gerade ist, gilt
� t
Wt =
0
sign(Xs) dXs = lim
� t
F
n→∞
0
′ n(Xs) dXs
�
= lim Fn(Xt) − Fn(0) −
n→∞
1
2
1
= |Xt|− lim
n→∞ 2
� t
0
� t
0
F ′′
n (|Xs|) ds.
F ′′
�
n (Xs) ds
Da die rechte Seite nur von |Xs|, s ∈ [0,t] abhängt, ist W an G := (σ(|Xs| : s ∈
[0,t])) adaptiert. Also ist σ(W ) ⊂ G�σ(X), und damit ist X nicht an σ(W )
adaptiert. ✸
Beispiel 26.16. Sei n ∈ N und B =(B 1 ,...,B n ) eine n-dimensionale Brown’sche
Bewegung mit Start in y ∈ R n . Setze x := �y� 2 , Xt := �Bt� 2 =(B 1 t ) 2 + ...+
(B n t ) 2 und
n�
� t
1
Wt := √ B
i=1 0 Xs
i s dB i s.
Dann ist W ein stetiges lokales Martingal mit 〈W 〉t = t für jedes t ≥ 0 und
� t �
Xt = x + nt + Xs dWs.
Das heißt, (X, W) ist eine schwache Lösung der SDGL dXt = √ 2Xt dWt + ndt.
X wird auch n-dimensionaler Bessel-Prozess genannt. Nach Satz 25.41 trifft B
(und damit X) den Ursprung für ein t>0 genau dann, wenn n =1ist. Offenbar
kann man X auch für nicht-ganzzahlig n ≥ 0 definieren. Man kann zeigen, dass X
genau dann die Null trifft, wenn n ≤ 1 ist. Vergleiche Beispiel 26.11. ✸
Für den Zusammenhang von Existenz und Eindeutigkeit von schwachen Lösungen
und starken Lösungen zitieren hier lediglich den Satz von Yamada und Watanabe.
Definition 26.17 (Pfadweise Eindeutigkeit). Wir sagen, dass die Lösung der SDGL
(26.15) mit Startverteilung μ pfadweise eindeutig ist, falls für jedes μ ∈M1(R n )
und je zwei schwache Lösungen (X, W) und (X ′ ,W) auf dem selben Raum
(Ω,F, P) mit der selben Filtration F gilt: P[Xt = X ′ t für alle t ≥ 0] = 1.
Satz 26.18 (Yamada und Watanabe). Es sind äquivalent:
(i) Die SDGL (26.15) hat eine eindeutige starke Lösung.
(ii) Für jedes μ ∈M1(Rn ) hat (26.15) eine schwache Lösung, und es gilt pfadweise
Eindeutigkeit.
Gelten (i) und (ii), so ist die Lösung schwach eindeutig.
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