Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

13.3 Der Satz von Prohorov 255
1. Schritt (endliche Subadditivität von β) Seien A1,A2 ⊂ E offen und C ∈C
mit C ⊂ A1 ∪ A2. Sein ∈ N mit C ⊂ Kn.Wirdefinieren zwei Mengen
B1 := � x ∈ C : d(x, A c 1) ≥ d(x, A c 2) � ,
B2 := � x ∈ C : d(x, A c 1) ≤ d(x, A c 2) � .
A
1
B1 B2 C
Offenbar ist B1 ⊂ A1 und B2 ⊂ A2. Dax ↦→ d(x, Ac i ) stetig ist für i =1, 2, sind
B1 und B2 als abgeschlossene Teilmengen von C kompakt. Also ist d(B1,Ac 1) > 0.
Es existiert also eine offene Menge D1 mit B1 ⊂ D1 ⊂ D1 ⊂ A1.(Manwähle etwa
D1 als Vereinigung einer endlichen Überdeckung von B1 mit Kugeln vom Radius
d(B1,Ac 1)/2. Diese Kugeln liegen nebst ihren Abschlüssen in A1.) Sei UD1 :=
{U ∈U: U ⊂ D1}. DannistB1⊂ D1 = �
U. Wähle nun eine endliche
U∈UD1 Teilüberdeckung {U1,...,UN }⊂UD1 von B1 und setze C1 := �N i=1 U i ∩ Kn.
Dann ist B1 ⊂ C1 ⊂ A1 und C1 ∈C.Wähle analog ein C2 ∈Cmit B2 ⊂ C2 ⊂ A2.
Es folgt
α(C) ≤ α(C1 ∪ C2) ≤ α(C1)+α(C2) ≤ β(A1)+β(A2).
Also gilt auch
β(A1 ∪ A2) =sup � �
α(C) : C ∈C mit C ⊂ A1 ∪ A2 ≤ β(A1)+β(A2).
2. Schritt (σ-Subadditivität von β) Seien A1,A2,...offene Mengen und C ∈C
mit C ⊂ �∞ i=1 Ai. DaC kompakt ist, existiert ein n ∈ N mit C ⊂ �n i=1 Ai. Die
schon gezeigte endliche Subadditivität von β impliziert
�
�n
α(C) ≤ α
� �
�n
= β
� ∞�
≤ β(Ai).
Ai
i=1
Ai
i=1
Indem wir das Supremum über solche C bilden, folgt
�
�∞
� �
∞�
β =sup α(C) : C ∈C mit C ⊂
Ai
i=1
i=1
Ai
i=1
� ∞�
≤ β(Ai).
3. Schritt (σ-Subadditivität von μ∗ ) Seien G1,G2,... ∈ 2E .Seiε>0. Wähle
für jedes n ∈ N eine offene Menge An ⊃ Gn mit β(An)