Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

8.3 Reguläre Version der bedingten Verteilung 175
8.3 Reguläre Version der bedingten Verteilung
Ist X eine Zufallsvariable mit Werten in einem Messraum (E,E),sokönnen wir mit
unserem Apparat bisher für festes A ∈Adie bedingte Wahrscheinlichkeit P[A|X]
angeben. Können wir die Situation aber auch so einrichten, dass wir für jedes x ∈ E
ein W-Maß P[ · |X = x] angeben können, sodass für jedes A ∈Agilt P[A|X] =
P[A|X = x] auf {X = x}?
Wir sind beispielsweise an einem zweistufigen Zufallsexperiment interessiert: Im
ersten Schritt wird eine Münze in zufälliger Weise so gefälscht, dass sie die Erfolgswahrscheinlichkeit
X hat. Danach werden unabhängige Würfe Y1,...,Yn mit
dieser Münze durchgeführt. Die ” bedingte Verteilung von (Y1,...,Yn) gegeben
{X = x}“ sollte also (Berx) ⊗n sein.
Sei X wie oben und Z eine σ(X)-messbare, reelle Zufallsvariable. Nach dem Faktorisierungslemma
(Korollar 1.97) existiert eine E – B(R)-messbare Abbildung
ϕ : E → R mit ϕ(X) =Z. IstX surjektiv, so ist ϕ eindeutig festgelegt. Wir
schreiben dann Z ◦ X −1 := ϕ (auch wenn die Umkehrabbildung X −1 selber nicht
existiert).
Definition 8.23. Sei Y ∈L1 (P) und X :(Ω,A) → (E,E). Dann definieren wir
die bedingte Erwartung von Y gegeben X = x, kurz E[Y |X = x], als die Funktion
ϕ aus dem Faktorisierungslemma mit Z = E[Y |X].
�
Wir setzen analog P[A|X = x] =E[ �X A = x] für A ∈A.
Für eine Menge B ∈Amit P[B] > 0 ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P[ · |B]
ein W-Maß. Gilt das Gleiche für P[ · |X = x]? Der Fall liegt hier komplizierter, da
wir für jedes A ∈Aden Ausdruck P[A|X = x] für x nur bis auf eine Ausnahmemenge,
die allerdings von A abhängt, definiert haben. Wenn wir die σ-Algebra
A nun durch abzählbar viele A genügend gut approximieren können, besteht Hoffnung,
dass die Ausnahmemengen sich zu einer Nullmenge vereinigen. Wir fassen
zunächst die Begriffe genauer und zeigen dann das angedeutete Ergebnis.
Definition 8.24 (Übergangskern, Markovkern). Sind (Ω1, A1), (Ω2, A2) Messräume,
so heißt κ : Ω1 ×A2 → [0, ∞] ein (σ–)endlicher Übergangskern (von Ω1
nach Ω2), falls
(i) ω1 ↦→ κ(ω1,A2) ist A1-messbar für jedes A2 ∈A2.
(ii) A2 ↦→ κ(ω1,A2) ist ein (σ–)endliches Maß auf (Ω2, A2) für jedes ω1 ∈ Ω1.
Ist das Maß in (ii) ein W-Maß für jedes ω1 ∈ Ω1, soheißtκ stochastischer Kern
oder Markovkern. Wird in (ii) zusätzlich κ(ω1,Ω2) ≤ 1 für jedes ω1 ∈ Ω1 gefordert,soheißtκ
sub-Markov’sch oder substochastisch.