Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzweigungsprozessen ∗
Lemma 21.47. Wir erhalten die k-ten Momente von Yt durch Ableiten der Laplace-
Transformierten
Ex[Y k
k dk
t ]=(−1)
dλ k (ψ(λ)x ) � � λ=0
�
wobei ψt(λ) =exp−
λ
�
λt+1 . Speziell sind die ersten Momente
Ex[Yt ]=x
Ex[Y 2
t ]=2xt+ x 2
Ex[Y 3
t ]=6xt 2 +6x 2 t + x 3
Ex[Y 4
t ]=24xt 3 +36x 2 t 2 +12x 3 t + x 4
Ex[Y 5
t ] = 120xt 4 + 240x 2 t 3 + 120x 3 t 2 +20x 4 t + x 5
Ex[Y 6
t ] = 720xt 5 + 1800x 2 t 4 + 1200x 3 t 3 + 300x 4 t 2 +30x 5 t + x 6 (21.45)
.
Es ist also Y ein Martingal, und die ersten zentrierten Momente sind
Ex[(Yt − x) 2 ]=2xt
Ex[(Yt − x) 3 ]=6xt 2
Ex[(Yt − x) 4 ]=24xt 3 +12x 2 t 2
Ex[(Yt − x) 5 ] = 120xt 4 + 120x 2 t 3
Ex[(Yt − x) 6 ] = 720xt 5 + 1080x 2 t 4 + 120x 3 t 3 .
,
463
(21.46)
Satz 21.48. Es existiert eine stetige Version des Markovprozesses Y mit Übergangskernen
(κt)t≥0 gegeben durch (21.44). Diese Version nennen wir Feller’sche
Verzweigungsdiffusion oder den Feller’schen stetigen Verzweigungsprozess.
Beweis. Für festes N>0 und s, t ∈ [0,N] gilt
�
Ex (Yt+s − Ys) 4� �
= Ex EYs [(Yt − Y0) 4 ] � �
= Ex 24Ys t 3 +12Y 2
s t 2�
=24xt 3 + 12(2sx + x 2 ) t 2 ≤ � 48Nx+12x 2� t 2 .
Mithin erfüllt Y die Bedingung aus Satz 21.6 (Kolmogorov-Chentsov) mit α =4
und β =1. ✷
Bemerkung 21.49. (i) Indem man alle höheren Momente heranzieht, kann man
zeigen, dass die Pfade von Y Hölder-stetig sind von jeder Ordnung γ ∈ (0, 1
2 ).
(ii) Man kann zeigen, dass Y die (eindeutige, starke) Lösung der stochastischen
(Itô’schen) Differentialgleichung (siehe Beispiele 26.11 und 26.31)
dYt = � 2Yt dWt
(21.47)
ist, wobei W eine Brown’sche Bewegung ist. ✸