Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

21.2 Konstruktion und Pfadeigenschaften 439
Beispiel 21.16. Sei B eine Brown’sche Bewegung. Für jedes K>0 ist
P � inf � t>0: Bt ≥ K √ t � =0 � =1. (21.14)
Um dies einzusehen, setze As := � inf{t >0: Bt ≥ K √ t } 0: Bt ≥ K √ t � �
= 0 = �
As ∈ F + 0 .
Dann ist P[A] ∈{0, 1}. Wegen der Skalierungseigenschaft der Brown’schen Bewegung
ist P[A] =inf
s>0 P[As] ≥ P[B1 ≥ K] > 0 und deshalb P[A] =1. ✸
Das eben untersuchte Beispiel zeigt insbesondere für jedes t ≥ 0, dassBin t fast
sicher nicht Hölder- 1
2-stetig ist. Hier ist Vorsicht mit der Reihenfolge der Quantoren
angebracht: Wir haben nicht gezeigt, dass B fast sicher in keinem t ≥ 0 Hölder-
1
2-stetig wäre (siehe aber Bemerkung 22.4). Wir können allerdings ohne großen
Aufwand den folgenden Satz zeigen, der für den Fall γ =1auf Paley, Wiener und
Zygmund [118] zurückgeht. Der hier vorgestellte Beweis beruht auf einer Idee von
Dvoretzky, Erdös und Kakutani (siehe [39]).
Satz 21.17 (Paley-Wiener-Zygmund (1933)). Für jedes γ> 1
2 sind die Pfade der
Brown’schen Bewegung (Bt)t≥0 fast sicher in keinem Punkte Hölder-stetig der
Ordnung γ. Insbesondere sind die Pfade fast sicher nirgends differenzierbar.
Beweis. Sei γ> 1
2 . Es reicht, B =(Bt) t∈[0,1] zu betrachten. Wir bezeichnen mit
Hγ,t die Menge der in t Hölder-γ-stetigen Abbildungen [0, 1] → R und setzen
Hγ := �
t∈[0,1] Hγ,t. Das Ziel ist zu zeigen, dass fast sicher B �∈ Hγ gilt.
Ist t ∈ [0, 1) und w ∈ Hγ,t, so existiert zu jedem δ>0 ein c = c(δ, w) mit der
Eigenschaft, dass |ws − wt| ≤c |s − t| γ ist für jedes s ∈ [0, 1] mit |s − t| 2
2γ−1 ,soistfür n ∈ N mit n ≥ n0 := ⌈(k +1)/δ⌉,
i = ⌊tn⌋ +1und l ∈{0,...,k− 1} speziell
�
� � � � �
�w(i+l+1)/n − w �
(i+l)/n ≤ �w(i+l+1)/n − wt
� + �w(i+l)/n − wt
� γ −γ
≤ 2c (k +1) n .
Für N ≥ 2c (k +1) γ ist also w ∈ AN,n,i, wobei
AN,n,i :=
k−1 �
l=0
s>0
�
w : � �
�w (i+l+1)/n − w �
(i+l)/n ≤ Nn −γ�
.
Setzen wir AN,n = �n n≥n0 AN,n und A = �∞ N=1 AN ,soist
offenbar Hγ ⊂ A. Nun ist wegen der Unabhängigkeit der Zuwächse, und weil die
Dichte der Standardnormalverteilung nirgends größer als 1 ist
i=1 AN,n,i, AN = �
P[B ∈ AN,n,i] =P � |B 1/n| ≤Nn −γ� k = P � |B1| ≤Nn −γ+1/2� k
≤ N k n k(−γ+1/2) .