Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

8.2 Bedingte Erwartungen 173
sicher, und die Aussage ist trivial. In der Tat: Ohne Einschränkung sei 0 der linke
Randpunkt von I und A := {E[X |F]=0}. DaX Werte in I ⊂ [0, ∞) annimmt,
ist 0 ≤ E[X A] =E[E[X |F] A] =0, also ist X A =0. Der Fall eines rechten
Randpunktes geht analog.
Sei also nun das Ereignis B := {E[X |F] ist innerer Punkt von I} betrachtet.
Für jeden inneren Punkt x ∈ I sei D + ϕ(x) die maximale Tangentensteigung von ϕ
in x, also der maximale Wert t mit ϕ(y) ≥ (y − x)t + ϕ(x) für alle y ∈ I (siehe
Satz 7.7). Die Abbildung x ↦→ D + ϕ(x) ist monoton wachsend, also messbar, und
daher ist D + ϕ(E[X |F]) eine F-messbare Zufallsvariable. Es folgt
E � ϕ(X)|F � ��X � � � +
≥ E − E[X |F] D ϕ(E[X |F]) + ϕ E[X |F] � �
�
�F
= ϕ � E[X |F] �
f.s auf B. ✷
Korollar 8.20. Sei p ∈ [1, ∞] und F ⊂ A eine Teil-σ-Algebra. Dann ist die
Abbildung Lp (Ω,A, P) → Lp (Ω,F, P), X ↦→ E[X |F] eine Kontraktion (das
heißt: �E[X |F]�p ≤ �X�p) und damit insbesondere stetig. Es gilt also für
X, X1,X2,...∈Lp n→∞
(Ω,A, P) mit �Xn − X�p −→ 0 auch
�
�E[Xn |F] − E[X |F] � � p
n→∞
−→ 0.
Beweis. Für p ∈ [1, ∞) benutze die Jensen’sche Ungleichung mit ϕ(x) =|x| p �
.Für
p = ∞ beachte, dass |E[X |F]| ≤E[|X||F] ≤ E[�X�∞ �F] =�X�∞. ✷
Korollar 8.21. Ist (Xi, i∈ I) gleichgradig integrierbar � und (Fj, j∈ J) eine Familie
von Teil-σ-Algebren von A, sowie Xi,j := E[Xi
�Fj], dann ist (Xi,j, (i, j) ∈
I × J) gleichgradig integrierbar. Insbesondere ist für X ∈ L1 (P) die Familie
(E[X |Fj], j∈ J) gleichgradig integrierbar.
Beweis. Nach Satz 6.19 existiert eine wachsende, konvexe Funktion f mit der Eigenschaft
f(x)/x →∞, x →∞und L := sup i∈I E[f(|Xi|)] < ∞. Dannist
x ↦→ f(|x|) konvex, also nach der Jensen’schen Ungleichung
E � f(|Xi,j|) � = E � f �� �E[Xi |Fj] � � �� ≤ L < ∞.
Nach Satz 6.19 ist daher (Xi,j, (i, j) ∈ I × J) gleichgradig integrierbar. ✷
Beispiel 8.22. Seien μ und ν endliche Maße mit ν ≪ μ.Seif = dν/dμ die Radon-
Nikodym-Ableitung, und sei I = {F ⊂ A : F ist eine σ-Algebra}. Betrachte die
auf F eingeschränkten Maße μ � � und ν
F
� � .Dannistν
F
� � ≪ μ
F
� � (klar, denn in
F
F gibt es ja weniger μ–Nullmengen), also existiert die Radon-Nikodym-Ableitung
fF := dν � � /dμ
F
� � .Dannist(fF : F ∈ I) gleichgradig integrierbar (bezüglich
F
μ). (Für endliche σ-Algebren F wurde dies schon in Beispiel 7.39 gezeigt.) In der