Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

und
� t
Jt :=
0
� N
b(s, Xs ) − b(s, X N−1
s ) � ds.
26.1 Starke Lösungen 557
Indem wir die Doob’sche L2 –Ungleichung auf das nichtnegative Submartingal
(�It�2 )t≥0 , Lemma 26.7 sowie (26.7) anwenden, erhalten wir
� �
E
≤ 4 E � �It� 2�
sup �Is�
s≤t
2
=4E
≤ 4K 2
�� t
0
� t
0
�
� σ(s, X N s ) − σ(s, X N−1
s
E
���X N
s − X N−1
�
�
s
2�
ds
) � �2 �
ds
Für Jt bekommen wir mit der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung
�Jt� 2 � t �
≤ t � N
b(s, Xs ) − b(s, X N−1
s ) � �2 ds.
Also ist
�
E
sup �Js�
s≤t
2
�
≤ t E
0
≤ tK 2
�� t
0
� t
0
�
� b(s, X N s ) − b(s, X N−1
s
���X N
E s − X N−1
�
�2� ds.
s
) � �2 �
ds
Setzen wir
Δ N �
�
(t) :=E sup � N
Xs − X
s≤t
N−1
�
�
s
2
�
,
so erhalten wir mit C := 2K2 (4 + T ) ∨ 2(T +1)K2 (1 + �x�2 )
und
Δ N+1 (t) ≤ C
Δ 1 (t) ≤ 2t
� t
0
� t
0
Δ N (s) ds für N ≥ 1
�b(s, x)� 2 ds + 2
� t
≤ 2(T +1)K 2� 1+�x� 2� · t ≤ Ct
0
�σ(s, x)� 2 ds
(26.12)
(26.13)
nach der Wachstumsvoraussetzung (26.8). Per Induktion folgt Δ N (t) ≤ (Ct)N
N! .Es
folgt mit der Markov’schen Ungleichung
∞�
�
�
P sup �X
s≤t
N s − X N−1
�
�
s
2 > 2 −N
�
≤
N=1
≤
∞�
2
N=1
N Δ N (t)
∞� (2Ct) N
N! ≤ e2Ct < ∞.
N=1