Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

42 1 Grundlagen der Maßtheorie
(i) Zeige: A = σ(Xn : n ∈ N).
(ii) Zeige: U ist A–B([0, 1]) messbar.
(iii) Bestimme das Bildmaß μ ◦ U −1 auf ([0, 1], B([0, 1])).
(iv) Man gebe ein Ω0 ∈Aan, sodass Ũ := U�� bijektiv ist.
Ω0
(v) Man zeige, dass Ũ −1 messbar ist bezüglich B([0, 1])–A � � .
Ω0
(vi) Welche Interpretation hat die Abbildung Xn ◦ Ũ −1 ? ♣
1.5 Zufallsvariablen
In diesem Abschnitt werden wir messbare Abbildungen als Zufallsvariablen auffassen,
die zufällige Beobachtungen beschreiben. Wir definieren den Begriff der
Verteilung von Zufallsvariablen.
Im Folgenden sei stets (Ω,A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Die Mengen A ∈A
heißen Ereignisse. P[A] wird als die Wahrscheinlichkeit interpretiert, dass A eintritt.
Oft ist allerdings nicht der Wahrscheinlichkeitsraum selbst betrachtbar, sondern
nur gewisse Beobachtungsgrößen. Wir wollen also Wahrscheinlichkeiten dafür definieren,
dass Zufallsgrößen bestimmte Werte annehmen und einen Kalkül für, zum
Beispiel, Summen von Zufallsgrößen entwickeln.
Definition 1.102 (Zufallsvariablen). Sei (Ω ′ , A ′ ) ein Messraum und X : Ω →
Ω ′ messbar.
(i) X heißt Zufallsvariable mit Werten in (Ω ′ , A ′ ).Ist(Ω ′ , A ′ )=(R, B(R)),so
nennen wir X eine reelle Zufallsvariable oder schlicht Zufallsvariable.
(ii) Ist A ′ ∈A ′ , so schreiben wir {X ∈ A ′ } := X−1 (A ′ ) und P[X ∈ A ′ ]:=
P[X−1 (A ′ )]. Speziell schreiben wir {X ≥ 0} := X−1 ([0, ∞)) und analog
{X ≤ b} und so weiter.
Definition 1.103 (Verteilungen). Sei X eine Zufallsvariable.
(i) Das W-Maß PX := P ◦ X−1 heißt Verteilung von X.
(ii) Ist X eine reelle Zufallsvariable, so heißt die Abbildung FX : x ↦→ P[X ≤ x]
die Verteilungsfunktion von X (eigentlich von PX). Ist μ = PX, soschreiben
wir auch X ∼ μ und sagen, dass X nach μ verteilt ist.
(iii) Eine Familie (Xi)i∈I heißt identisch verteilt, falls PXi = PXj für alle
i, j ∈ I. Wir schreiben X D = Y , falls PX = PY (D für distribution).