Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

376 18 Konvergenz von Markovketten
Übung 18.2.3. Sei X eine beliebige aperiodische, irreduzible, rekurrente Irrfahrt
auf Z d . Man zeige, dass dann zu je zwei Startpunkten die unabhängige Verschmelzung
eine erfolgreiche Kopplung ist.
Hinweis: Man zeige, dass die Differenz zweier rekurrenter Irrfahrten stets wieder
rekurrent ist. ♣
Übung 18.2.4. Sei X eine Markovkette auf Z2 mit Übergangsmatrix
⎧
1
4
⎪⎨
p((x1,x2), (y1,y2)) =
⎪⎩
, falls x1 =0, �y − x�2 =1,
1
4 , falls x1 �= 0und y1 = x1 ± 1, x2 = y2,
1
2 , falls x1 �= 0und y1 = x1, x2 = y2,
0, sonst.
Anschaulich ist dies die symmetrische einfache Irrfahrt, bei der alle senkrechten
Übergänge außerhalb der senkrechten Koordinatenachse blockiert werden. Man zeige,
dass X nullrekurrent, irreduzibel und aperiodisch ist, und dass die unabhängige
Verschmelzung keine erfolgreiche Kopplung ist. ♣
18.3 Markovketten Monte Carlo Methode
Es sei E eine endliche Menge und π ∈M1(E) mit π(x) :=π({x}) > 0 für jedes
x ∈ E. Wir betrachten das Problem, eine Zufallsvariable Y mit Verteilung π mit
dem Computer zu generieren. Dies ist etwa dann relevant, wenn E eine sehr große
Menge ist und Summen vom Typ �
x∈E
f(x)π(x) numerisch approximiert werden
sollen durch Schätzer n−1 �n i=1 f(Yi) (siehe Beispiel 5.21).
Wir nehmen an, dass unser Computer in der Lage ist, Realisierungen von u.i.v. Zufallsvariablen
U1,U2,... zu generieren, die uniform auf [0, 1] verteilt sind. Die Verteilung
π soll jedoch nicht leicht direkt herstellbar sein.
Metropolis-Algorithmus
Wir haben schon gesehen, wie man Markovketten mit dem Computer simulieren
kann (Beispiel 17.19). Die Idee ist nun, eine Markovkette X zu erzeugen, deren
Verteilung gegen π konvergiert. Wenn wir X lange genug laufen lassen, so wird
Xn ungefähr wie π verteilt sein. Gleichzeitig sollte die Kette so gestaltet sein, dass
in jedem Schritt immer nur wenige Übergänge wirklich möglich sind, sodass das
in Beispiel 17.19 beschriebene Verfahren auch effizient umsetzbar ist. (Natürlich
wäre eine Kette mit Übergangsmatrix p(x, y) =π(y) gegen π konvergent, aber das
Problem ließe sich hiermit nicht vereinfachen.) Die so beschriebene Methode des
Ziehens von π-verteilten Stichproben wird Markovketten Monte Carlo Methode
oder MCMC (für Markov chain Monte Carlo) genannt (siehe [18, 110, 115]).