Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

13 Konvergenz von Maßen
In der Wahrscheinlichkeitstheorie interessiert man sich für Verteilungen, die durch
das Zusammenwirken vieler zufälliger Einflüsse zustandekommen. Oftmals lässt
sich eine brauchbare Idealisierung erreichen, indem man Grenzwerte solcher Verteilungen
anschaut, zum Beispiel, wenn die Anzahl der Einflüsse nach Unendlich geht.
Ein Beispiel ist die Konvergenz der Anzahl eingetretener Ereignisse bei vielen seltenen
Ereignissen gegen die Poisson-Verteilung (siehe Satz 3.7). Vielfach sind aber
auch Skalierungen der ursprünglichen Verteilung notwendig, um das wesentliche
Fluktuationsverhalten zu erfassen, etwa im Zentralen Grenzwertsatz. Während diese
Sätze mit reellen Zufallsvariablen auskommen, werden wir auch Grenzwertsätze
kennen lernen, bei denen die Zufallsvariablen Werte in allgemeineren Räumen annehmen,
beispielsweise im Raum aller stetigen Funktionen, wenn wir die zufällige
zeitliche Bewegung eines Teilchens modellieren.
In diesem Kapitel wird der Begriff der schwachen Konvergenz von W-Maßen auf
allgemeinen (meist polnischen) Räumen eingeführt und untersucht. Hierzu ist eine
solide Kenntnis von mengentheoretischer Topologie notwendig. Wir beginnen daher
mit einem kurzen Überblick über die verwendeten topologischen Begriffe und
Sätze.
Dieses Kapitel soll nur eine knappe Einführung in die für die Wahrscheinlichkeitstheorie
wichtigsten Sätze liefern. Als ausführlichere Darstellungen seien [17] und
[83] empfohlen.
Beim ersten Lesen mag der Leser dieses eher analytisch geprägte Kapitel vielleicht
überspringen. In diesem Fall genügt es fürs Erste, sich mit den Definitionen von
schwacher Konvergenz und Straffheit (Definition 13.12 und 13.26) vertraut zu machen,
sowie mit den Aussagen des Portemanteau Theorems (Satz 13.16) und des
Satzes von Prohorov (Satz 13.29).
13.1 Wiederholung Topologie
Wir geben kursorisch einige Definitionen und Aussagen der mengentheoretischen
Topologie an. Zum Nachlesen eignen sich etwa [90] oder [133].