Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

264 14 W-Maße auf Produkträumen
Satz 14.14 (Endliche Produktmaße). Es existiert genau ein σ-endliches Maß μ
auf A := �n i=1 Ai mit
n�
μ(A1 ×···×An) = μi(Ai) für Ai ∈Ai, i=1,...,n. (14.5)
Wir nennen
i=1
n�
μi := μ1 ⊗···⊗μn := μ das Produktmaß der μi.
i=1
Sind alle Räume gleich (Ω0, A0,μ0), so schreiben wir μ ⊗n
0 := n�
Beweis. Sei ˜μ auf Z R wie μ in (14.5) festgesetzt. Offenbar ist ˜μ(∅) = 0, und
man überlegt sich leicht, dass ˜μ σ-endlich ist. Seien A 1 ,A 2 ,... ∈Z R paarweise
disjunkt und A ∈Z R mit A ⊂ � ∞
k=1 Ak . Dann ist nach dem Satz über monotone
Konvergenz
�
˜μ(A) =
�
≤
�
μ1(dω1) ···
�
μ1(dω1) ···
k=1
i=1
μ0.
μn(dωn) A((ω1,...,ωn))
∞�
μn(dωn) Ak((ω1,...,ωn)) ∞�
= ˜μ(A k ).
Ist speziell A = A 1 � A 2 ,soerhält man analog ˜μ(A) =˜μ(A 1 )+˜μ(A 2 ). Mithin ist
˜μ eine σ-endliche, additive, σ-subadditive Mengenfunktion auf dem Semiring Z R
mit ˜μ(∅) =0. Nach dem Fortsetzungssatz (Satz 1.53) kann ˜μ in eindeutiger Weise
zu einem σ-endlichen Maß fortgesetzt werden. ✷
Beispiel 14.15. Für i =1,...,nsei (Ωi, Ai, Pi) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Auf
dem Raum (Ω,A, P) := � × n
i=1 Ωi, �n i=1 Ai, �n i=1 Pi
�
sind die Koordinatenabbildungen
Xi : Ω → Ωi unabhängig mit Verteilung PXi = Pi. ✸
k=1