Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

566 26 Stochastische Differentialgleichungen
Satz 26.26 (Stroock-Varadhan). Sei aij : R n → R stetig und bi : R n → R
messbar für i, j =1,...,n. Es gelte
(i) a(x) =(aij(x)) ist symmetrisch und strikt positiv definit für jedes x ∈ Rn ,
(ii) es gibt ein C 0 und jedes beschränkte,
messbare f : R n → R.
Konkrete Beispiele geben wir in Abschnitt 26.3 an. Wir wollen hier nur festhalten,
dass wir eine spezielle Methode entwickelt haben, um Markovprozesse zu konstruieren,
nämlich als Lösung einer stochastischen Differentialgleichung oder eines lokalen
Martingalproblems. Im Rahmen von Modellen in diskreter Zeit haben wir in
Kapitel 17.2 und speziell in Übung 17.2.1 bereits Markovketten als Lösungen von
Martingalproblemen charakterisiert. Dass dort die Angabe der Drift und der quadratischen
Variation ausreichte, um den Prozess eindeutig zu bestimmen, lag daran,
dass wir die Möglichkeiten für das Ziel eines Schrittes auf drei Punkte begrenzt
hatten. Hier hingegen ist die entscheidende Begrenzung die Stetigkeit der Prozesse.
Übung 26.2.1. Sei der zeithomogene eindimensionale Fall (m = n =1) betrachtet.
Seien σ und b so, dass es für jedes X0 ∈ R eine eindeutige schwache Lösung von
−∞
dXt = σ(Xt) dWt + b(Xt) dt
existiert und ein starker Markovprozess ist. Ferner gebe es ein x0 ∈ R mit
� ∞
1
C :=
σ2 (x) exp
�� x
2b(r)
σ2 (r) dr
�
dr < ∞.
(i) Man zeige: Das Maß π ∈M1(R) mit Dichte
x0
π(dx)
dx = C−1 1
σ 2 (x) exp
�� x
x0
2b(r)
σ2 (r) dr
�
ist eine invariante Verteilung für X.
(ii) Für welche Werte von b hat der Ornstein-Uhlenbeck Prozess dXt = σdWt +
bXt dt eine invariante Verteilung? Man bestimme diese Verteilung und vergleiche
das Ergebnis mit dem, was nach expliziter Rechnung mit der Darstellung
in (26.3) zu erwarten war.
(iii) Man bestimme die invariante Verteilung der Cox-Ingersoll-Ross SDGL (26.14)
(alias Feller’sche Verzweigungsdiffusion).