Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

498 23 Große Abweichungen
Übung 23.2.2. Sei E = R. Man zeige, dass με := N 0,ε 2 ein LDP mit guter Ratenfunktion
I(x) =∞· R\{0}(x) erfüllt. Man zeige ferner, dass in der unteren
Schranke (LDP 1) strikte Ungleichheit auftreten kann. ♣
Übung 23.2.3. Sei E = R. Man zeige, dass με := 1
2N−1,ε + 1
2N1,ε ein LDP mit
guter Ratenfunktion I(x) =min( 1
2 (x +1)2 , 1
2 (x − 1)2 ) erfüllt. ♣
Übung 23.2.4. Man berechne Λ und Λ ∗ für den Fall, wo X1 ∼ exp θ für θ>0
und interpretiere die Aussage von Satz 23.11 für diesen Fall. Man prüfe, dass Λ ∗
die eindeutige Nullstelle bei E[X1] hat. (Ergebnis: Λ ∗ (x) =θx − log(θx) − 1 falls
x>0 und = ∞ sonst.) ♣
Übung 23.2.5. Man berechne Λ und Λ ∗ für den Fall, wo X1 Cauchy verteilt ist und
interpretiere die Aussage von Satz 23.11 für diesen Fall. ♣
Übung 23.2.6. Sei Xλ ∼ Poiλ für jedes λ>0. Man zeige, dass με := PεX λ/ε ein
LDP mit guter Ratenfunktion I(x) =x log(x/λ) +λ − x für x ≥ 0 (und = ∞
sonst) erfüllt. ♣
Übung 23.2.7. Sei (Xt)t≥0 die Irrfahrt auf Z in stetiger Zeit, die mit Rate 1
2 einen
Schritt nach rechts springt und mit Rate 1
2 einen Schritt nach links springt. Man
zeige, dass (PεX )ε>0 ein LDP erfüllt mit der konvexen guten Ratenfunktion
1/ε
I(x) =1+xarcsinh(x) − √ 1+x2 . ♣
23.3 Satz von Sanov
Dieser Abschnitt ist an die Darstellung in [32] angelehnt.
Wir wollen hier ein Prinzip der großen Abweichungen vorstellen, das nicht auf einem
linearen Raum basiert, wie der Satz von Cramér, sondern für empirische Verteilungen
unabhängiger Zufallsvariablen mit Werten in einer endlichen Menge Σ,
die meist Alphabet genannt wird, annehmen.
Sei μ ein W-Maß auf Σ mit μ({x}) > 0 für jedes x ∈ Σ. Seien ferner X1,X2,...
u.i.v. Zufallsvariablen mit Werten in Σ und Verteilung PX1 = μ. Wir wollen ein
Prinzip großer Abweichungen für die empirischen Maße
ξn(X) := 1
n
n�
δXi
i=1
herleiten. Man beachte, dass nach dem Gesetz der großen Zahl P-fast sicher gilt,
dass ξn(X) n→∞
−→ μ. Als Zustandsraum ergibt sich also E = M1(Σ), ausgestattet
mit der Metrik d(μ, ν) =�μ − ν�TV der Totalvariation. (Da Σ nur endlich viele