Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

5.3 Starkes Gesetz der Großen Zahl 111
Der Fehler ist mithin maximal von der Größenordnung n−1/2 . Der Zentrale Grenzwertsatz
wird uns zeigen, dass der Fehler exakt von dieser Ordnung ist.
Wenn über f minimale Glattheitseigenschaften bekannt sind, so liefern die gängigen
numerischen Verfahren sehr viel bessere Konvergenzordnungen. Die hier beschriebene
Monte Carlo Simulation sollte also nur angewandt werden, wenn alle anderen
Verfahren ungeeignet sind. Speziell ist dies der Fall, wenn statt [0, 1] ein Gebiet
G ⊂ Rd für sehr großes d betrachtet wird. ✸
Definition 5.22 (Empirische Verteilungsfunktion). Seien X1,X2,... reelle Zufallsvariablen.
Dann heißt die Abbildung F : R → [0, 1], x ↦→ 1
n�
n
i=1 (−∞,x](Xi)
die empirische Verteilungsfunktion von X1,...,Xn.
Satz 5.23 (Glivenko-Cantelli). Seien X1,X2,...u.i.v. reelle Zufallsvariablen mit
Verteilungsfunktion F , und seien Fn, n ∈ N, die empirischen Verteilungsfunktionen.
Dann gilt
lim sup
n→∞
�
sup �Fn(x) − F (x)
x∈R
� � =0 fast sicher.
Beweis. Wähle ein x ∈ R und setze Yn(x) = (−∞,x](Xn) und Zn(x) =
(−∞,x)(Xn) für n ∈ N. Wirdefinieren außerdem die linksseitigen Limiten
F (x−) = limy↑x F (y) und analog für Fn. Dann sind (Yn(x))n∈N und (Zn(x))n∈N
jeweils unabhängige Familien und E[Yn(x)] = P[Xn ≤ x] = F (x) sowie
E[Zn(x)] = P[Xn