Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

13.2 Schwache und vage Konvergenz 243
” (vi) =⇒ (iii)“ Sei f : E → R beschränkt und messbar mit μ(Uf )=0.Wir
machen die elementare Beobachtung, dass für jedes D ⊂ R gilt
∂f −1 (D) ⊂ f −1 (∂D) ∪ Uf . (13.5)
In der Tat: Falls f in x ∈ E stetig ist, so existiert zu jedem δ>0 ein ε(δ) > 0 mit
f(Bε(δ)(x)) ⊂ Bδ(f(x)). Istx∈ ∂f−1 (D), so existieren y ∈ f −1 (D) ∩ Bε(δ)(x) und z ∈ f −1 (Dc ) ∩ Bε(δ)(x). Alsoistf(y) ∈ Bδ(f(x)) ∩ D �= ∅ und f(z) ∈
Bδ(f(x)) ∩ Dc �= ∅, also f(x) ∈ ∂D.
Sei ε>0. Offenbar ist die Menge A := � y ∈ R : μ � f −1 ({y}) � > 0 � der Atome
des endlichen Maßes μ ◦ f −1 höchstens abzählbar. Daher gibt es N ∈ N und y0 ≤
−�f�∞