Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

300 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Satz 15.31 (Momente und Differenzierbarkeit). Sei X eine reelle Zufallsvariable
mit charakteristischer Funktion ϕ.
(i) Ist E[|X| n ] < ∞,soistϕn-mal stetig differenzierbar mit Ableitungen
ϕ (k) (t) =E � (iX) k e itX�
für jedes k =0,...,n.
(ii) Ist speziell E[X 2 ] < ∞,soist
ϕ(t) =1+it E[X] − 1
2 t2 E[X 2 ]+ε(t) t 2
mit ε(t) → 0 für t → 0.
|h|
(iii) Sei h ∈ R. Gilt lim
n→∞
n E[|X| n ]
n! =0,soistfür jedes t ∈ R
∞� (ih)
ϕ(t + h) =
k
k! E � e itX X k� .
k=0
Speziell gilt dies, falls E � e |hX|� < ∞.
Beweis. (i) Für t ∈ R, h ∈ R \{0} und k ∈{1,...,n} sei
Yk(t, h, x) =k! h −k e itx
�
e ihx k−1 � (ihx)
−
l
�
.
l!
Dann ist
E[Yk(t, h, X)] = k! h −k
�
k−1 �
ϕ(t + h) − ϕ(t) − E � e itX (iX) l� hl �
.
l!
Existiert nun der Limes ϕk(t) := limh→0 E[Yk(t, h, X)], soistϕk-mal differenzierbar
in t mit ϕ (k) (t) =ϕk(t).
Es gilt aber (nach Lemma 15.30 mit n = k +1) Yk(t, h, x) h→0
−→ (ix) keitx für
jedes x ∈ R und (nach Lemma 15.30 mit n = k) |Yk(t, h, x)| ≤|x| k . Da nach
Voraussetzung E[|X| k ] < ∞ gilt, folgt mit dem Satz über majorisierte Konvergenz,
dass E[Yk(t, h, X)] h→0
−→ E[(iX) keitX ]=ϕ (k) (t). Eine einfache Anwendung des
Stetigkeitslemmas (Satz 6.27) liefert die Stetigkeit von ϕ (k) .
(ii) Dies folgt direkt aus (i).
(iii) Nach Voraussetzung gilt
l=0
l=1