Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

548 25 Das Itô-Integral
25.5 Rekurrenz und Transienz der Brown’schen Bewegung
Die symmetrische einfache Irrfahrt (Xn)n∈N auf Z d ist nach dem Satz von Pólya
(Satz 17.39) genau dann rekurrent (besucht also jeden Punkt unendlich oft), wenn
d ≤ 2 ist. Ist d>2, so ist die Irrfahrt transient und verlässt jede endliche Menge
A ⊂ Z d schließlich. Wir können dieses Verhalten beschreiben durch
lim inf
n→∞ �Xn� =0 f.s. ⇐⇒ d ≤ 2
und
lim
n→∞ �Xn� = ∞ f.s. ⇐⇒ d>2.
Hauptergebnis dieses Abschnitts ist es, dass eine ähnliche Dichotomie auch für die
Brown’sche Bewegung gilt.
Satz 25.38. Sei W = (W 1 ,...,W d ) eine d-dimensionale Brown’sche Bewegung.
(i) Ist d ≤ 2, soist W rekurrent in dem Sinne, dass
lim inf
t→∞ �Wt − y� =0 f.s. für jedes y ∈ R d .
Insbesondere liegt der Pfad {Wt : t ≥ 0} dicht in Rd fast sicher.
(ii) Ist d>2, soistW transient in dem Sinne, dass
lim
t→∞ �Wt� = ∞ f.s.,
und für jedes y ∈ R d \{0} ist inf{�Wt − y� : t ≥ 0} > 0 fast sicher.
Die Grundidee für den Beweis des Satzes besteht darin, mit Hilfe von geeigneten
Dirichletproblemen und dem Ergebnis von Abschnitt 25.4 die Wahrscheinlichkeiten
dafür auszurechnen, dass W gewisse Kugeln
BR(x) := � y ∈ R d : �x − y�