Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

25.2 Itô-Integral bezüglich Diffusionen
Ist
so ist das elementare Integral
H =
I M t (H) =
25.2 Itô-Integral bezüglich Diffusionen 535
n�
hi−1 (ti−1,ti] ∈E, (25.6)
i=1
n�
i=1
� �
hi−1 Mti∧t − Mti−1∧t
ein Martingal (beziehungsweise lokales Martingal), wenn M ein Martingal (beziehungsweise
lokales Martingal) ist, und es gilt
E � (I M ∞ (H)) 2� =
n�
E � h 2 i−1(Mti − Mti−1 )2� n�
= E � h 2 i−1(〈M〉ti −〈M〉ti−1 )�
i=1
� � ∞
= E
0
H 2 t d〈M〉t
�
,
falls der Ausdruck auf der rechten Seite endlich ist. Grob gesprochen können wir
die Prozedur, mit der wir das Itô-Integral für die Brown’sche Bewegung in Abschnitt
25.1 für Integranden H ∈ E definiert hatten, wiederholen, um ein Integral
bezüglich M für eine große Klasse von Integranden zu definieren. Für die Definition
der Norm auf E müssen wir im Prinzip nur dt (die quadratische Variation der
Brown’schen Bewegung) durch d〈M〉t ersetzen:
� � ∞ �
.
�H� 2 M := E
0
i=1
H 2 t d〈M〉t
Das Problem besteht nicht darin, das elementare Integral auf E fortzusetzen, sondern
darin zu prüfen, welche Prozesse in E liegen. Für unstetige Martingale etwa
müssen die Integranden vorhersagbar sein, damit das Integral ein Martingal wird
(abgesehen von der Schwierigkeit, dass wir die Existenz einer quadratischen Variation
für solche Martingale nicht etabliert haben und dies in diesem Rahmen auch
nicht tun werden). Dies hatten wir in Kapitel 9.3 schon für den Fall diskreter Zeit
gesehen. Haben wir nun ein stetiges Martingal M mit stetiger quadratischer Variation
〈M〉 vorliegen, so tritt immer noch folgendes Problem auf: Im Beweis von
Satz 25.9 wurde in Schritt 2 benutzt, dass Hn t (ω) n→∞
−→ Ht(ω) für Lebesgue-fast
alle t und alle ω gilt, um zu zeigen, dass progressiv messbare H in E liegen. Ist
d〈M〉t nun nicht absolutstetig bezüglich des Lebesgue-Maßes, so reicht dies aber
nicht aus, um die Konvergenz der Integrale bezüglich d〈M〉t zu folgern. Im Fall
absolutstetiger quadratischer Variation hingegen geht der Beweis glatt durch. Wie
in Abschnitt 25.1 erhalten wir: