Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

234 13 Konvergenz von Maßen
Im Folgenden sei stets (E,τ) ein topologischer Raum mit der Borel’schen σ-
Algebra E = B(E) (vergleiche Definition 1.20 und 1.21).
(E,τ) heißt Hausdorffraum, falls zu je zwei Punkten x, y ∈ E mit x �= y offene
Mengen U, V existieren mit x ∈ U, y ∈ V und U ∩ V = ∅. IstA⊂ E, so
bezeichnen wir mit A den Abschluss von A, mit A◦ das Innere und mit ∂A den
Rand von A. Eine Menge A ⊂ E heißt dicht, falls A = E.
(E,τ) heißt metrisierbar, falls es eine Metrik d auf E gibt, sodass τ durch die
offenen Kugeln Bε(x) :={y ∈ E : d(x, y) 0, die ganz in U liegt und relativ kompakt ist. Indem
man εx eventuell nochmal halbiert, kann man annehmen, dass sogar der Abschluss
dieser Kugel in U liegt. Da K kompakt ist, gibt es endlich viele x1,...,xn ∈ K
mit K ⊂ V := �n i=1 Bεx (xi). Nach Konstruktion ist L = V ⊂ U kompakt.)
i
Einen in der Wahrscheinlichkeitstheorie wichtigen Typ von topologischen Räumen
stellen wir in einer separaten Definition vor.