Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

21.10 Quadratische Variation und lokale Martingale 465
zu zeigen. Hierzu verwenden wir das Kriterium von Kolmogorov � (Satz 21.42 mit
α =4und β =1). Wir berechnen also die vierten Momente Ex ( Z¯ n
t+s − ¯ Zn s ) 4� für
s, t ∈ [0,N] und für festes N>0. Wir unterscheiden zwei Fälle.
Fall 1: t< 1
n . Sei k = ⌊(t + s)n⌋. Wir nehmen zunächst an, dass ⌊sn⌋ = k.
Dann ist (nach Lemma 21.45)
�
Ex ( Z¯ n
t+s − ¯ Z n s ) 4� = n −4 (tn) 4 � n
E⌊nx⌋ (Zk+1 − Z n k ) 4�
= t 4 � n
E⌊nx⌋ 24Zk + 12(Z n k ) 2 +2Z n� k
= t 4 � 26⌊nx⌋ +24⌊nx⌋k + ⌊nx⌋ 2�
≤ 26xt 3 +24xs t 2 + x 2 t 2
≤ (50Nx+ x 2 ) t 2 .
Der Fall ⌊sn⌋ = k − 1 liefert eine ähnliche Abschätzung. Insgesamt erhalten wir
eine Konstante C = C(N,x) mit
�
Ex ( Z¯ n
s+t − ¯ Z n s ) 4� ≤ Ct 2
für alle s, t ∈ [0,N] mit t< 1
. (21.48)
n
Fall 2: t ≥ 1
n . Wir setzen jetzt k := ⌈(t + s)n⌉−⌊sn⌋ ≤tn +1≤ 2tn.Dannist
(nach Lemma 21.45)
�
Ex ( Z¯ n
t+s − ¯ Z n s ) 4�
≤ n −4 � n
E⌊nx⌋ (Z⌊(t+s)n⌋ − Z n ⌊sn⌋ )4�
= n −4 �
E⌊nx⌋ EZn ⌊sn⌋ [(Zn k − Z n 0 ) 4 ] �
= n −4 �
E⌊nx⌋ 24Z n ⌊sn⌋k3 + 12(Z n ⌊sn⌋ )2k 2 +2Z n ⌊sn⌋k �
≤ n −4 � 24xn(2tn) 3 +(24xn sn +12x 2 n 2 )(2tn) 2 +4xtn 2�
≤ 192xt 3 +(96xs +48x 2 )t 2 +4xn −1 t 2
(21.49)
≤ (292Nx+48x 2 ) t 2 .
Die Abschätzungen aus (21.48) und (21.49) ergeben zusammen, dass die Voraussetzungen
des Kolmogorov’schen Straffheitskriteriums (Satz 21.42) erfüllt sind mit
α =4und β =1. Also ist die Folge (Lx[ ¯ Z n ],n∈ N) straff. ✷
21.10 Quadratische Variation und lokale Martingale
Nach dem Satz von Paley-Wiener-Zygmund (Satz 21.17) sind die Pfade t ↦→ Wt
der Brown’schen Bewegung fast sicher nirgends differenzierbar, sind also von lokal
unendlicher Variation. Insbesondere lässt sich das in Beispiel 21.29 betrachtete
stochastische Integral � 1
0 f(s) dWs nicht als Lebesgue-Stieltjes Integral verstehen.