Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

16.1 Die Lévy-Khinchin Formel 325
Dann ist nach (16.1) und mit gt aus (i)
�
ψn(t) :=log e itx �
CPoiνn (dx) = (e itx �
− 1) νn(dx) = gt dνn + ibnt.
Wie in (16.14) ist
n→∞
ψ n(t) :=ψn(t) − 1
2
� t+1
t−1
�
ψn(s) ds = e itx h(x) νn(dx).
Da ψn −→ ψ gleichmäßig auf kompakten Mengen konvergiert (Satz 15.23(i)),
n→∞
und weil ψ stetig und damit lokal beschränkt ist, gilt ψn −→ ψ punktweise, also
�
e itx h(x) νn(dx) n→∞
−→ ψ(t). (16.15)
Speziell ist ψn(0) < 0 für große n. Setzen wir ˜νn(dx) =−(h(x)/ψn(0))νn(dx) ∈
M1(R), sogilt � eitx ˜νn(dx) n→∞
−→ −ψ(t)/ψ(0), wobei die rechte Seite stetig ist.
Nach dem Lévy’schen Stetigkeitssatz gibt es also ein ˜ν ∈M1(R) mit ˜νn
n→∞
−→ ˜ν
und
�
ψ(t) =−ψ(0) e itx ˜ν(dx).
Wir setzen σ 2 := −6 ψ(0) ˜ν({0}) und definieren ein kanonisches Maß ν durch
Die Abbildung (vergleiche (15.8))
ν(dx) =− ψ(0)
h(x)
ft : R → C, x ↦→
{x�=0} ˜ν(dx).
�
gt(x)
h(x) , falls x �= 0,
−3t 2 , falls x =0,
ist stetig und beschränkt. Nach Voraussetzung ist
� �
�
ft(x)˜νn(dx)+ibnt .
ψ(t) = lim
n→∞ ψn(t) = lim
n→∞
Da die Integrale konvergieren, existiert auch b = limn→∞ bn, und es ist
�
ψ(t) = ft d˜ν + ibt = − σ2
2 t2 �
+ ibt + gt dν. ✷
Bemerkung 16.18. Es gibt mehrere Varianten der Lévy-Khinchin Formel
ψ(t) =− σ2
2 t2 �
�e � itx
+ ibt + − 1 − it f(x) ν(dx),