Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

270 14 W-Maße auf Produkträumen
Beweis. Klar. ✷
Lemma 14.27 (Kerne und Faltung). Seien μ und ν W-Maße auf R d und die Kerne
κi :(R d , B(R d )) → (R d , B(R d )), i =1, 2, definiert durch κ1(x, dy) =μ(dy)
sowie κ2(y, dz) =(δy ∗ ν)(dz). Dann ist κ1 · κ2 = μ ∗ ν.
Beweis. Das ist trivial. ✷
Satz 14.28 (Kerne und Faltung). Seien X1,X2,... unabhängige Rd-wertige Zufallsvariablen
mit Verteilungen μi := Pi, i =1,...,n. Setze Sk := X1 + ...+
Xk für k = 1,...,n und definiere stochastische Kerne von Rd nach Rd durch
κk(x, · )=δx ∗ μk für k =1,...,n. Dann gilt
�
n�
�
(0, · )=P (S1,...,Sn). (14.8)
k=1
κk
Beweis. Für k =1,...,n definiere die messbare Bijektion ϕk :(R d ) k → (R d ) k
durch
ϕk(x1,...,xk) =(x1,x1 + x2,...,x1 + ...+ xk).
Offenbar ist B((Rd ) n �
)=σ ϕn(A1 ×···×An) : A1,...,An ∈B(Rd ) � . Es reicht
also (14.8) für Mengen von diesem Typ nachzuweisen, also zu zeigen, dass
�
�n
�
n�
(0,ϕk(A1×···×An)) = P (S1,...,Sn)(ϕn(A1×···×An)) = μk(Ak).
κk
k=1
Für n =1ist die Aussage klar. Per Definition ist κn(yn−1,yn−1 + An) =μn(An).
Induktiv folgt
�
�n
�
(0,ϕn(A1 ×···×An))
κk
k=1
�
=
=
ϕn−1(A1×···×An−1)
� n−1
�
k=1
� n−1
�
k=1
κk
k=1
�
�0,d(y1,...,yk−1) � � �
κn yn−1,yn−1 + An
�
μk(Ak) μn(An). ✷
Satz 14.29 (Fubini für Übergangskerne). Seien (Ωi, Ai) Messräume, i =1, 2, μ
ein endliches Maß auf (Ω1, A1), κ ein endlicher Übergangskern von Ω1 nach Ω2
sowie f : Ω1×Ω2 → R messbar bezüglich A1⊗A2.Istf ≥ 0 oder f ∈L 1 (μ⊗κ),
dann gilt
�
Ω1×Ω2
�
fd(μ⊗ κ) =
Ω1
��
Ω2
�
f(ω1,ω2) κ(ω1,dω2) μ1(dω1). (14.9)