Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

14.2 Endliche Produkte und Übergangskerne 263
also A ′ J ⊂AJ. Umgekehrt gilt (X J j )−1 (Ej) ∈A ′ J für j ∈ J und Ej ∈Ej. Da
Ei ein Erzeuger von Ai ist, ist (X J j )−1 (Aj) ∈A ′ J für jedes Aj ∈Aj, also gilt
AJ ⊂A ′ J .
(ii) Offenbar ist Z E,R ⊂Z R ⊂A, also auch σ(Z E,R ) ⊂ σ(Z R ) ⊂A. Nach
Satz 1.81 gilt σ � Z E,R�
{i} = σ(Xi) für jedes i ∈ I, also σ(Xi) ⊂ σ(Z E,R ) und damit
AI ⊂ σ(Z E,R ).
(iii) Nach (ii) und Lemma 14.11 ist Z E,R ein schnittstabiler Erzeuger von A. Die
Aussage folgt daher aus Lemma 1.42. ✷
Übung 14.1.1. Man zeige:
�
Ai =
i∈I
�
J⊂I abzählbar
ZJ. (14.4)
Hinweis: Man zeige, dass die rechte Seite eine σ-Algebra ist. ♣
14.2 Endliche Produkte und Übergangskerne
Wir betrachten jetzt die Situation endlich vieler σ-endlicher Maßräume (Ωi, Ai,μi),
i =1,...,n, wobei n ∈ N.
Lemma 14.13. Sei A ∈A1 ⊗A2 und f : Ω1 × Ω2 → R eine A1 ⊗A2-messbare
Abbildung. Dann gilt für jedes ˜ω1 ∈ Ω1 und ˜ω2 ∈ Ω2
A˜ω1 := {ω2 ∈ Ω2 :(˜ω1,ω2) ∈ A} ∈A2,
A˜ω2 := {ω1 ∈ Ω1 :(ω1, ˜ω2) ∈ A} ∈A1,
f˜ω1 : Ω2 → R, ω2↦→ f(˜ω1,ω2) ist A2–messbar,
f˜ω2 : Ω1 → R, ω1↦→ f(ω1, ˜ω2) ist A1–messbar.
Beweis. Für ˜ω1 definiere die Einbettung i : Ω2 → Ω1×Ω2 durch i(ω2) =(˜ω1,ω2).
Da X1 ◦ i konstant gleich ˜ω1 ist (also A1-messbar), und X2 ◦ i =idΩ2 (also A2messbar),
ist nach Korollar 1.82 die Abbildung i messbar bezüglich A2 – (A1⊗A2).
Mithin ist A˜ω1 = i−1 (A) ∈A2 und f˜ω1 = f ◦ i messbar bezüglich A2. ✷
Der folgende Satz verallgemeinert Satz 1.61.