Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

1
0.8
0.6
0.4
0.2
Magnetisierung
18.3 Markovketten Monte Carlo Methode 379
0
0.84 0.85 0.86 0.87 0.88
Inverse Temperatur
0.89 0.9 0.91 0.92
Abb. 18.4. Magnetisierungskurve im Ising-Modell auf einem 1000 × 1000-Gitter, per Computersimulation
berechnet. Die senkrechte Linie markiert die kritische Temperatur.
sind die Stoffe magnetisch, oberhalb sind sie es nicht. Dabei nimmt der Magnetisierungsgrad
bei fallender Temperatur noch zu. Das Ising-Modell, das wir jetzt untersuchen,
soll (zumindest in Computer-Simulationen) diesen Effekt einer kritischen
Temperatur nachbilden.
Wir definieren den Zustand xi,σ , bei dem an der Stelle i der Spin σ ∈{−1, +1}
eingesetzt wird
x i,σ �
σ, falls j = i,
(j) =
x(j), falls j �= i.
Außerdem definieren wir den Zustand x i , bei dem der Spin in i umgedreht wird
x i := x i,−x(i) . Als vorschlagende Kette, oder Referenzkette, wählen wir nun eine
Kette mit Übergangswahrscheinlichkeiten
q(x, y) =
�
1
#Λ , falls y = xi für ein i ∈ Λ,
0, sonst.
In Worten: Wir suchen einen Punkt i ∈ Λ zufällig (uniform verteilt) aus und drehen
den Spin an dieser Stelle um. Offenbar ist q irreduzibel.
Der Metropolis-Algorithmus zu dieser Kette akzeptiert den Vorschlag der Referenzkette
sicher, falls π(x i ) ≥ π(x). Andernfalls wird der Vorschlag mit Wahrscheinlichkeit
π(x i )/π(x) akzeptiert. Nun ist aber