Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

25.1 Das Itô-Integral bezüglich der Brown’schen Bewegung 533
Beweis. Klar. ✷
Definition 25.14. Sei Eloc der Raum der progressiv messbaren stochastischen Prozesse
H mit
� T
H 2 s ds < ∞ f.s. für jedes T>0.
0
Lemma 25.15. Für jedes H ∈Eloc existiert eine Folge (τn)n∈N von Stoppzeiten
mit τn ↑∞fast sicher und E � � τn
0 H2 s ds � < ∞, also mit H (τn) ∈ E für jedes
n ∈ N.
Beweis. Setze
�
τn := inf t ≥ 0:
� t
0
H 2 �
s ds ≥ n .
Nach der Definition von Eloc gilt τn ↑∞fast sicher und nach Konstruktion ist
�
�H (τn)�� 2 = E � � τn
0 H2 s ds � ≤ n. ✷
Definition 25.16. Sei H ∈Eloc und (τn)n∈N wie in Lemma 25.15. Wir definieren
für t ≥ 0 das Itô-Integral als den fast sicheren Grenzwert
Satz 25.17. Sei H ∈Eloc.
� t
� t
0
Hs dWs := lim
n→∞
0
H (τn)
s dWs. (25.5)
(i) Der Grenzwert in (25.5) ist wohldefiniert, stetig in t und (f.s.) unabhängig von
der Wahl der Folge (τn)n∈N.
(ii) Ist τ ein Stoppzeit mit E � � τ
0 H2 s ds � �
< ∞, so ist das gestoppte Itô-Integral
� �
τ∧t
ein L2-beschränktes, stetiges Martingal.
0
Hs dWs
t≥0
(iii) Ist speziell E � � T
0 H2 s ds � < ∞ für jedes T>0,soist
quadratintegrierbares, stetiges Martingal.
Beweis. (i) Nach Lemma 25.13 ist auf dem Ereignis {τn ≥ t}
� t
0
Hs dWs =
� t
0
H (τn)
s dWs.
� � t
0 Hs
�
dWs
t≥0 ein
Also existiert der Limes, ist stetig und unabhängig von der Wahl der Folge (τn)n∈N.
(ii) Dies folgt direkt aus Satz 25.11.
(iii) Da wir τn = n wählen können, folgt dies aus (ii). ✷