Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

372 18 Konvergenz von Markovketten
einem Beispiel gezeigt, dass wir auf die räumliche Homogenität nicht leicht verzichten
können, wenn wir eine erfolgreiche Kopplung haben möchten. Der Verzicht
auf Rekurrenz fällt leichter, wie der folgende Satz zeigt.
Satz 18.13. Sei X eine beliebige aperiodische und irreduzible Irrfahrt auf Z d mit
Übergangsmatrix p. Dann existiert eine erfolgreiche Kopplung (X, Y ).
Der Beweis ist etwas technisch und kann beim ersten Lesen ausgelassen werden.
Beweis. Sei zunächst der Fall d =1betrachtet. Für jedes L ∈ N definieren wir die
Übergangsmatrix ˇpL einer Irrfahrt auf Z durch
�
ˇpL(x, y) =
p(x, z) p(y, z), falls x �= y,
z∈Z: |z−y|≤L, |z−x|≤L
und ˇpL(x, x) =1− �
y�=x ˇpL(x, y).
Offenbar ist ˇpL stets aperiodisch. Wähle nun L so groß, dass ˇpL irreduzibel ist.
(Dass dies geht, zeigt die folgende Überlegung: Da p aperiodisch und irreduzibel
ist, gibt es zu jedem x ∈ Z ein Nx ∈ N mit p (n) (0,x) > 0 für n ≥ Nx. Für
n ≥ N0 ∨ Nx ist dann ˇp (n) (0,x) > 0, wobei ˇp =ˇp∞ die Symmetrisierung von p
ist, denn
Wegen ˇp (n)
L
p (n) (0,x)=((p (n) ) T p (n) )(0,x) ≥ (p (n) ) T (0, 0) p (n) (0,x) > 0.
(0,x) L→∞
−→ ˇp (n) (0,x), gilt für hinreichend großes L und n ≥ N0 ∨
N−1 ∨ N1, dassˇp (n)
L (0, −1) > 0, ˇp(n)
L (0, 0) > 0, und ˇp(n)
L (0, 1) > 0. Mithin ist ˇpL
irreduzibel.)
Wir konstruieren die Kopplung (X, Y ), indem wir X und Y alle Sprünge der Weite
größer als L gemeinsam ausführen lassen, diejenigen von kürzerer Weite jedoch unabhängig,
solange bis X und Y sich treffen und dann verschmelzen. Wir betrachten
also als Übergangsmatrix für die nicht verschmelzende Kette ( ˜ X, ˜ Y )
˜pL((x1,y1), (x2,y2))
⎧
⎪⎨
p(x1,x2) p(y1,y2), falls |x1 − x2| ≤L, |y1 − y2| ≤L,
=
⎪⎩
p(x1,x2),
0,
falls |x1 − x2| >Lund y1 − y2 = x1 − x2,
sonst.
Schließlich sei (X, Y ) die nach Zeit τ := inf{n ∈ N0 : ˜ Xn = ˜ Yn} verschmelzende
Kette, also X = ˜ X und Yn = ˜ Yn für n ≤ τ und Yn = Xn für n ≥ τ. Offenbarist
(X, Y ) eine Kopplung der Ketten mit Übergangsmatrix p.
Nach Konstruktion ist die Differenz ( ˜ Xn − ˜ Yn)n∈N0 eine Irrfahrt mit Übergangsmatrix
ˇpL, also eine symmetrische irreduzible, aperiodische Irrfahrt mit beschränkter
Sprungweite und damit rekurrent. Für x, y ∈ Z gilt daher