Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

28 1 Grundlagen der Maßtheorie
Messräumen gilt. Wir können auch unendliche (sogar überabzählbare) Produkte betrachten,
wenn wir voraussetzen, dass alle Faktoren Wahrscheinlichkeitsräume sind
(Satz 14.36). ✸
Beispiel 1.63 (Unendliches Produktmaß, Fortsetzung von Beispiel 1.40). Sei E
eine endliche Menge und Ω = E N der Raum der Folgen mit Werten in E. Ferner sei
(pe)e∈E ein Wahrscheinlichkeitsvektor. Der auf A = {[ω1,...,ωn] : ω1,...,ωn ∈
E, n ∈ N} definierte Inhalt
μ([ω1,...,ωn]) =
soll nun zu einem Maß auf σ(A) fortgesetzt werden. Um die Voraussetzungen von
Satz 1.53 zu prüfen, müssen wir zeigen, dass μσ-subadditiv ist. Wie im vorangehenden
Beispiel geht dies mit Hilfe eines Kompaktheitsarguments.
Seien also A, A1,A2,... ∈Aund A ⊂ �∞ n=1 An. Es reicht zu zeigen, dass es ein
N ∈ N gibt mit der Eigenschaft
A ⊂
n�
i=1
pωi
N�
An. (1.13)
n=1
Dann ist nämlich aufgrund der endlichen Subadditivität von μ (Lemma 1.31(iii))
schon μ(A) ≤ N�
μ(An) ≤ ∞�
μ(An), also ist μσ-subadditiv.
n=1
n=1
Wir geben nun zwei Beweise für (1.13) an.
1. Beweis Wie in Beispiel 1.40 angemerkt, ist Ω mit der von der Metrik d in
(1.9) erzeugten Produkttopologie kompakt, und jedes A ∈ A ist abgeschlossen
und damit auch kompakt. Da jedes der An zugleich offen ist, gibt es eine endliche
Teilüberdeckung von A, mithin gilt (1.13).
2. Beweis Wir zeigen nun auf elementare Weise die Gültigkeit von (1.13).
Das Vorgehen imitiert den Beweis dafür, dass Ω kompakt ist. Wir setzen Bn :=
A \ �n i=1 Ai, nehmen an, dass Bn �= ∅ für jedes n ∈ N und führen dies zum Widerspruch.
Nach dem Dirichlet’schen Schubfachprinzip (E ist endlich) können wir
ein ω1 ∈ E auswählen, sodass [ω1] ∩ Bn �= ∅ für unendlich viele n ∈ N. Wegen
B1 ⊃ B2 ⊃ ...folgt
[ω1] ∩ Bn �= ∅ für jedes n ∈ N.
Wähle nun sukzessive ω2,ω3,...∈ E so aus, dass
[ω1,...,ωk] ∩ Bn �= ∅ für alle k, n ∈ N.
Bn ist disjunkte Vereinigung von gewissen Mengen Cn,1,...,Cn,mn ∈A.Daher
existiert zu jedem n ∈ N ein in ∈{1,...,mn} mit [ω1,...,ωk] ∩ Cn,in �= ∅ für
unendlich viele k ∈ N.Wegen[ω1] ⊃ [ω1,ω2] ⊃ ...folgt