Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

374 18 Konvergenz von Markovketten
Satz 18.14. Sei X eine Markovkette auf E mit Übergangsmatrix p. Existiert eine
erfolgreiche Kopplung, so ist jede beschränkte, harmonische Funktion konstant.
Beweis. Sei f : E → R beschränkt und harmonisch, also pf = f. Seien x, y ∈ E,
und sei (X, Y ) eine erfolgreiche Kopplung. Nach Lemma 17.45 sind (f(Xn))n∈N0
und (f(Yn))n∈N0 Martingale, also gilt
f(x) − f(y) =E (x,y)[f(Xn) − f(Yn)] ≤ 2�f�∞ P (x,y)[Xn �= Yn] n→∞
−→ 0. ✷
Korollar 18.15. Ist X eine irreduzible Irrfahrt auf Z d , so ist jede beschränkte, harmonische
Funktion konstant.
Diese Aussage gilt allgemeiner, wenn wir Z d durch eine lokalkompakte, abelsche
Gruppe ersetzen und geht in dieser Form auf Choquet und Deny [26] zurück, siehe
auch [136].
Beweis. Ist p die Übergangsmatrix von X, sosei¯ X eine Markovkette mit Übergangsmatrix
¯p(x, y) = 1
1
2p(x, y)+ 2 {x}(y). Offenbar haben X und ¯ X die selben
harmonischen Funktionen. Nun ist aber ¯ X eine aperiodische, irreduzible Irrfahrt,
besitzt also nach Satz 18.13 eine erfolgreiche Kopplung für alle Startpunkte. ✷
Satz 18.16. Sei p die Übergangsmatrix einer irreduziblen, positiv rekurrenten, aperiodischen
Kette auf E. Dann ist die verschmelzende Kette eine erfolgreiche Kopplung.
Beweis. Seien ˜ X und ˜ Y zwei unabhängige Markovketten auf E mit Übergangsmatrix
p. Dann hat die bivariate Markovkette Z := ((Xn,Yn))n∈N0 die Übergangsmatrix
�p, die durch
�p � (x1,y1), (x2,y2) � = p(x1,x2) · p(y1,y2)
definiert wird. Wir zeigen zunächst, dass die Matrix �p irreduzibel ist. Nur an dieser
Stelle benötigen wir die Aperiodizität von p. Seien also (x1,y1), (x2,y2) ∈ E × E
gegeben. Dann existiert nach Lemma 18.2 ein m0 ∈ N mit
p n (x1,x2) > 0 und p n (y1,y2) > 0 für jedes n ≥ m0.
Für n ≥ m0 ist daher �p n� (x1,y1), (x2,y2) � > 0.Alsoist�p irreduzibel.
Wir definieren nun die Stoppzeit τ des ersten Eintreffens von ( ˜ X, ˜ Y ) in der Diagonalen
D := {(x, x) : x ∈ E} durch τ := inf � n ∈ N0 : ˜ Xn = ˜ �
Yn .Seiπdie invariante
Verteilung von ˜ X. Offenbar ist dann das Produktmaß π ⊗ π ∈M1(E × E)
eine (und damit die) invariante Verteilung von ( ˜ X, ˜ Y ). Nach Satz 17.51 ist daher
( ˜ X, ˜ Y ) positiv rekurrent, also insbesondere rekurrent. Mithin gilt P (x,y)[τ