Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

456 21 Die Brown’sche Bewegung
Beweis. Wir prüfen die Bedingungen von Satz 21.40. Die erste Bedingung aus
Satz 21.40 ist genau (i).
Nach dem Satz von Kolmogorov-Chentsov (Satz 21.6(ii)) gibt es zu γ ∈ (0,β/α)
und ε>0 sowie N>0 eine Konstante K, sodass für jedes i ∈ I gilt
P � |X i t − X i s|≤K |t − s| γ für alle s, t ∈ [0,N] � ≥ 1 − ε.
Offenbar impliziert dies (21.29) mit δ =(η/K) 1/γ . ✷
21.8 Satz von Donsker
Seien Y1,Y2,... u.i.v. Zufallsvariablen mit E[Y1] =0und Var[Y1] =σ2 > 0. Für
t>0 sei Sn t = �⌊nt⌋ i=1 Yi und � Sn t = 1 √ S
σ2n n t . Nach dem zentralen Grenzwertsatz
gilt L[ � Sn t ] n→∞
−→ N0,t. Bezeichnet B =(Bt, t≥ 0) eine Brown’sche Bewegung,
so gilt also
L[ � S n t ] n→∞
−→ L[Bt] für jedes t>0.
Nach dem mehrdimensionalen Zentralen Grenzwertsatz (Satz 15.56) gilt nun auch
(für N ∈ N und t1,...,tN ∈ [0, ∞))
L[( � S n t1 ,..., � S n n→∞
tN )] −→ L[(Bt1 ,...,BtN )] (21.30)
Wir definieren jetzt ¯ S n wie � S n , aber linear interpoliert
Dann gilt für ε>0
P �� � � S n t − ¯ S n t
¯S n t = 1
√ σ 2 n
⌊nt⌋
�
i=1
Yi +
�
� >ε � ≤ ε −2 E � ( � S n t − ¯ S n t ) 2� ≤ 1
ε 2 n
(tn −⌊tn⌋)
√ Y⌊nt⌋+1. (21.31)
σ2n 1 2
E[Y
σ2 1 ]= 1
ε2n n→∞
−→ 0.
Nach dem Satz von Slutzky (Satz 13.18) gilt daher die Konvergenz der endlichdimensionalen
Verteilungen gegen das Wiener-Maß PW :
P ¯ S n
n→∞
=⇒
fdd
PW . (21.32)
Wir wollen diese Konvergenzaussage verstärken zur schwachen Konvergenz der W-
Maße auf C([0, ∞)). Dazu formulieren wir als Hauptsatz dieses Abschnitts den
Funktionalen Zentralen Grenzwertsatz, der in dieser Allgemeinheit auf Donsker
[35] zurückgeht. Sätze von diesem Typ werden auch Invarianzprinzipien genannt,
weil die Grenzverteilung die selbe ist für alle Verteilungen von Yi mit Erwartungswert
0 und selber Varianz.