Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

6.1 Fast-überall- und stochastische Konvergenz 127
Satz 6.7. Seien A1,A2,... ∈Amit AN ↑ Ω und μ(AN ) < ∞ für jedes N ∈ N.
Für messbare f,g : Ω → E setze
˜d(f,g) :=
∞�
N=1
2 −N
1+μ(AN )
�
AN
� 1 ∧ d(f(ω),g(ω)) � μ(dω). (6.1)
Dann ist ˜ d eine Metrik, die die stochastische Konvergenz erzeugt: Sind f,f1,f2,...
messbar, so gilt
fn
Beweis. Für N ∈ N setze
�
˜dN (f,g) :=
stoch
−→ f ⇐⇒ ˜ d(f,fn) n→∞
−→ 0.
AN
� 1 ∧ d(f(ω),g(ω)) � μ(dω).
Genau dann gilt ˜ d(f,fn) n→∞
−→ 0,wenn˜ dN(f,fn) n→∞
−→ 0 für jedes N ∈ N.
” =⇒ “ Es gelte fn
stoch
−→ f. Dannistfür jedes ε ∈ (0, 1)
˜dN (f,fn) ≤ μ � AN ∩{d(f,fn) >ε} � + εμ(AN ) n→∞
−→ εμ(AN ).
Da ε ∈ (0, 1) beliebig war, gilt ˜ dN (f,fn) n→∞
−→ 0.
” ⇐= “ Es gelte ˜ d(f,fn) n→∞
−→ 0. SeiB ∈Amit μ(B) < ∞. Wähle δ>0 und
N ∈ N so groß, dass μ(B \ AN ) ε} � ≤ δ + μ � AN ∩{d(f,fn) >ε} �
≤ δ + ε −1 ˜ dN (f,fn) n→∞
−→ δ.
Da δ>0 beliebig war, folgt μ � B ∩{d(f,fn) >ε} � n→∞
stoch
−→ 0, also fn −→ f. ✷
Wir betrachten nun den wichtigen Fall E = R mit der euklidischen Metrik. Hier
haben wir durch das Integral einen weiteren Konvergenzbegriff zur Verfügung.
Definition 6.8 (Konvergenz im Mittel). Seien f,f1,f2,... ∈L 1 (μ). Wir sagen
(fn)n∈N konvergiere im Mittel gegen f, in Formeln
falls �fn − f�1
n→∞
−→ 0.
Bemerkung 6.9. Gilt fn
fn
L 1
−→ f,
L 1
−→ f, so gilt insbesondere � fn dμ n→∞
−→ � fdμ. ✸