Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen
Die Normalverteilung N μ,σ 2 lässt sich für jedes n ∈ N als n-te Faltungspotenz eines
W-Maßes schreiben (nämlich von N μ/n,σ 2 /n). Die selbe Eigenschaft, die wir
unbegrenzte Teilbarkeit nennen, hat die Poisson-Verteilung. Im ersten Abschnitt
untersuchen wir, welche W-Maße auf R unbegrenzt teilbar sind und geben eine
erschöpfende Beschreibung der Klasse dieser Maße durch die Lévy-Khinchin Formel.
Die Normalverteilung hat (im Gegensatz zur Poisson-Verteilung) die Eigenschaft,
dass sie als Grenzwert reskalierter Summen von u.i.v. Zufallsvariablen auftritt (Zentraler
Grenzwertsatz). Im zweiten Abschnitt untersuchen wir knapp die Teilklasse
unbegrenzt teilbarer Maße auf R, die diese Eigenschaft haben.
16.1 Die Lévy-Khinchin Formel
Zur Abkürzung verwenden wir in diesem Abschnitt die Bezeichnung CFW“ für
”
” charakteristische Funktion eines W-Maßes auf R“.
Definition 16.1. Ein Maß μ ∈M1(R) heißt unbegrenzt teilbar, falls es für jedes
n ∈ N ein μn ∈M1(R) mit der Eigenschaft μ∗n n = μ gibt. Analog nennen wir eine
CFW ϕ unbegrenzt teilbar, falls es zu jedem n ∈ N eine CFW ϕn gibt mit ϕ = ϕn n.
Eine reelle Zufallsvariable X heißt unbegrenzt teilbar, falls es zu jedem n ∈ N u.i.v.
Zufallsvariablen Xn,1,...,Xn,n gibt mit X D = Xn,1 + ...+ Xn,n.
Offenbar sind alle drei Begriffe der unendlichen Teilbarkeit äquivalent, und wir
wollen sie synonym verwenden. Man beachte, dass die Eindeutigkeit von μn beziehungsweise
ϕn keineswegs evident ist. Tatsächlich folgt aus der n-fachen Teilbarkeit
noch nicht die Eindeutigkeit der n-ten Faltungswurzel μ ∗1/n := μn beziehungsweise
von ϕn. Um dies für gerades n einzusehen, wähle man etwa eine reelle
CFW ϕ, für die |ϕ| �= ϕ ebenfalls eine CFW ist (siehe Beispiel 15.16 und 15.17).
Dann ist ϕ n = |ϕ| n n-fach teilbar, jedoch sind die Faktoren nicht eindeutig.
Mit Hilfe des Lévy’schen Stetigkeitssatzes kann man zeigen (siehe Übung 16.1.1),
dass ϕ(t) �= 0für alle t ∈ R gilt, falls ϕ unbegrenzt teilbar ist. Die probabilistische
Bedeutung dieser Aussage liegt darin, dass log(ϕ(t)) als stetige Funktion eindeutig