Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

12.1 Austauschbare Familien von Zufallsvariablen 223
Sei X =(Xn)n∈N ein stochastischer Prozess mit Werten in einem polnischen Raum
E.SeiS(n) die Menge der Permutationen ϱ : {1,...,n}→{1,...,n}. Wir fassen
ϱ ebenfalls als Abbildung N → N auf durch ϱ(k) =k für k>n.Für ϱ ∈ S(n)
und x =(x1,...,xn) ∈ E n schreiben wir x ϱ =(x ϱ(1),...,x ϱ(n)). Für x ∈ E N
schreiben wir analog x ϱ =(x ϱ(1),x ϱ(2),...) ∈ E N .IstE ′ ein weiterer polnischer
Raum, so definieren wir für messbare Abbildungen f : E n → E ′ und F : E N → E ′
die Abbildungen f ϱ und F ϱ durch f ϱ (x) =f(x ϱ ) und F ϱ (x) =F (x ϱ ). Ferner
schreiben wir f(x) =f(x1,...,xn) auch, falls x ∈ E N .
Definition 12.4. (i) Eine Abbildung f : En → E ′ heißt symmetrisch, falls f ϱ =
f ist für jedes ϱ ∈ S(n).
(ii) Eine Abbildung F : EN → E ′ heißt n-symmetrisch, falls F ϱ = F für jedes
ϱ ∈ S(n). F heißt symmetrisch, falls Fn-symmetrisch ist für jedes n ∈ N.
Beispiel 12.5. (i) Für x ∈ RN definieren wir das n-te arithmetische Mittel durch
an(x) = 1 �n n i=1 xi. Offenbar ist an eine n-symmetrische Abbildung (aber nicht
m-symmetrisch für ein m>n). Weiter definiert ā(x) := lim sup an(x) eine sym-
n→∞
metrische Abbildung RN → R ∪{−∞, +∞}.
(ii) Die Abbildung s : RN → [0, ∞], x ↦→ �∞ i=1 |xi| ist symmetrisch. Anders als
ā hängt der Wert von s von jeder einzelnen Koordinate ab, falls er endlich ist.
(iii) Für x ∈ EN �
definieren wir die n-te empirische Verteilung durch ξn(x) =
1 n
n i=1 δxi . Offenbar ist ξn eine n-symmetrische Abbildung.
(iv) Sei k ∈ N und ϕ : Ek → R eine Abbildung. Das n-te symmetrisierte Mittel
An(ϕ) :E N → R, x ↦→ 1
n!
�
ϕ(x ϱ ) (12.1)
ϱ∈S(n)
ist eine n-symmetrische Abbildung. ✸
Definition 12.6. Sei X =(Xn)n∈N ein stochastischer Prozess mit Werten in E.Für
n ∈ N sei En := σ(F ◦ X : F : E N → R ist messbar und n-symmetrisch) die
σ-Algebra der unter allen Permutation ϱ ∈ S(n) invarianten Ereignisse. Ferner sei
E :=
∞�
En = σ � F ◦ X : F : E N → R ist messbar und symmetrisch �
n=1
die σ-Algebra der austauschbaren Ereignisse für X, oder kurz die austauschbare
σ-Algebra.
Bemerkung 12.7. Ist A ∈ σ(Xn, n∈ N) ein Ereignis, so gibt es ein messbares
B ⊂ E N mit A = {X ∈ B}. Schreiben wir A ϱ = {X ϱ ∈ B} für ϱ ∈ S(n), soist
En = {A : A ϱ = A für alle ϱ ∈ S(n)}. Dies rechtfertigt den Namen ” austauschbares
Ereignis“. ✸