Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

25.3 Die Itô-Formel 541
Da ε>0 beliebig war, gilt also �
t∈Pn |R
T
n t | n→∞
−→ 0. Es gilt (siehe Übung 21.10.2)
�
t∈P n T
1
2 F ′′ (Xt)(Xt ′ − Xt) 2 n→∞
−→ 1
� T
F
2 0
′′ (Xs) d〈X〉s.
Daher muss auch die Summe des verbleibenden Terms in (25.13) konvergieren, das
heißt, es existiert der Limes in (25.11). ✷
Als direkte Folgerung erhalten wir die Itô-Formel für das Itô-Integral bezüglich Diffusionen.
Satz 25.27 (Itô-Formel für Diffusionen). Sei Y = M + A, wobei Mt � =
t
0 σs dWs und At = � t
0 bs ds, eine (verallgemeinerte) Diffusion ist (siehe Definition
25.23). Sei F ∈ C2 (R). Dann gilt die Itô-Formel
F (Yt) − F (Y0) =
=
� t
0
� t
0
F ′ (Ys) dMs +
� t
F ′ (Ys)σs dWs +
Speziell gilt für die Brown’sche Bewegung
F (Wt) − F (W0) =
� t
0
0
� t
F ′ (Ws) dWs + 1
2
� t
F ′ (Ys) dAs + 1
F
2 0
′′ (Ys) d〈M〉s
�
F
0
′ (Ys)bs + 1
2 F ′′ (Ys)σ 2 �
s ds.
(25.14)
� t
0
F ′′ (Ws) ds. (25.15)
Als Anwendung der Itô-Formel bringen wir eine Charakterisierung der Brown’schen
Bewegung als stetiges lokales Martingal mit einer bestimmten quadratischen Variation.
Satz 25.28 (Lévy’sche Charakterisierung der Brown’schen Bewegung).
Sei X ∈Mloc,c mit X0 =0. Dann sind äquivalent
(i) (X2 t − t)t≥0 ist ein lokales Martingal,
(ii) 〈X〉t = t für alle t ≥ 0,
(iii) X ist eine Brown’sche Bewegung.
Beweis (iii) =⇒ (i) Das ist klar.
(i) ⇐⇒ (ii) Das ist klar, weil der quadratische Variationsprozess eindeutig ist.
(ii) =⇒ (iii) Es reicht zu zeigen, dass Xt − Xs ∼N0,t−s gegeben Fs für t>
s ≥ 0. Wegen des Eindeutigkeitssatzes für charakteristische Funktionen reicht es zu
zeigen, dass (mit i = √ −1)für A ∈Fs und λ ∈ R gilt:
ϕA,λ(t) :=E � e iλ(Xt−Xs) � −λ
A = P[A] e 2 (t−s)/2
.