Student Seminar: Classical and Quantum Integrable Systems

and if k < j the contribution will be
Thus, adding up we obtain
O j =
−
=
−
k j +1
W A j (λ k , {λ} M k+1) + W D j (λ k , {λ} M k+1) .
M∏ λ j − λ k − i
(λ j + i ) j−1 L ∑
+ Wj A (λ k , {λ} M
λ j − λ k 2
k+1)
k j +1
k=j+1
k=1
M∏ λ j − λ k + i
(λ j − i ) j−1 L ∑
+ Wj D (λ k , {λ} M
λ j − λ k 2
k+1) =
k=1
(
M∏ λ j − λ k − i
(λ j + i ) j−1
j−1
L ∑ i ∏
1 +
λ j − λ k 2
λ k − λ j
k=1
p=k+1
(
M∏ λ j − λ k + i
(λ j − i ) j−1
j−1
L ∑ i ∏
1 −
λ j − λ k 2
λ k − λ j
k=1
k=j+1
Let us now note the useful identity
p=k+1
)
λ j − λ p − i
λ j − λ p
)
λ j − λ p + i
.
λ j − λ p
t n ≡ 1 +
j−1
∑
k=n
i
λ k − λ j
j−1
∏
p=k+1
j−1
λ j − λ p − i ∏ λ j − λ k − i
=
.
λ j − λ p λ j − λ k
k=n
We will prove this by induction over n. For n = j − 1 and n = j − 2 we have
i
t j−1 = 1 + = λ j − λ j−1 − i
,
λ j−1 − λ j λ j − λ j−1
i
i λ j − λ j−1 − i
t j−2 = 1 + +
λ j−1 − λ j λ j−2 − λ j λ j − λ j−1
Now we suppose that the formula holds for n = l, then we have
t l−1 = t l +
j−1
i ∏
λ l−1 − λ j
p=l
λ j − λ p − i
λ j − λ p
=
= λ j − λ j−1 − i λ j − λ j−2 − i
.
λ j − λ j−1 λ j − λ j−2
j−1
∏
p=l−1
λ j − λ p − i
λ j − λ p
,
which proves our assumption. With this formula at hand we therefore find
1 +
j−1
∑
i=1
i
λ i − λ j
j−1
∏
p=i+1
j−1
λ j − λ p − i ∏ λ j − λ k − i
=
.
λ j − λ p λ j − λ k
k=1
In the same way one can show that
1 −
j−1
∑
i=1
i
λ i − λ j
j−1
∏
p=i+1
j−1
λ j − λ p + i ∏ λ j − λ k + i
=
.
λ j − λ p λ j − λ k
k=1
– 78 –